Paley–Wiener tétel

A Paley-Wiener-tétel az összes exponenciális típusú függvény halmaza , amelyre egybeesik a reprezentációt megengedő függvények halmazával , ahol . $F z)$ $\leq \sigma$ $\int _{-\infty }^{+\infty }|f(x)|^{2}dx<\infty$ $F z)$ $f(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\sigma }^{+\sigma }e^{izu}\phi (u)du$ $\phi (u)\in L^{2}(-\sigma ,+\sigma )$

Magyarázatok

Az exponenciális típusú teljes függvény egy olyan teljes függvény , amely bármely esetén kielégíti a alakú egyenlőtlenséget , ahol az A, B számok nem függenek z-től. Egy függvény exponenciális típusa a legkisebb alsó korlát a B konstans értékeire, amelyre ez az egyenlőtlenség érvényes. Az exponenciális típust a képlet találja meg . Értsd meg az intervallumfüggvényekben mérhetőek halmazát, amelyek modulusának négyzete integrálható Lebesgue értelmében . $F z)$ $z$ $|f(z)|\leq Ae^{B|z|}$ $F z)$ $\sigma ={\bar {\lim _{|z|\to \infty ))}{\frac {ln|f(z)|}{|z|}}$ $L^{2}(-\sigma ,+\sigma )$ $(-\sigma ,+\sigma )$

A Paley-Wiener-Schwartz tétel általánosított függvényekre

Ha egy általánosított függvény koncentrálódik a tartományban , akkor annak Fourier-transzformációja egy teljes, növekedési és típusú 1. rendű analitikus függvény . Ellenkezőleg, legyen a növekedés és típusú 1. rendű teljes analitikus függvény , amely legfeljebb bizonyos fokig növekszik , és legyen az ennek a függvénynek megfelelő függvény a térben . Ekkor a függvény Fourier-transzformációja koncentrálódik a tartományban . $F$ $G_{b}:|x|\leq b$ $\leq b$ $f(z)=f(z_{1},...z_{n})$ $\leq b$ $|x|\to \infty$ ${\displaystyle |x|^{q))$ $(f,\phi )=\int f(x)\phi (x)dx$ $Z$ ${\kalap {f))$ $f$ ${\displaystyle G_{b))$

Lásd még

Irodalom

Wiener Norbert "Matematikus vagyok", M., 1964, 356 oldal, lőtér. 50 000 példány, B 48 51 (09) UDC 510 (092), ch. 8 Újra otthon 1932-1933, 1. o. 160-168;
Viner N. , Paley R. "Fourier-transzformáció a komplex tartományban", M., Nauka, 1964;
N. I. Akhiezer „Lectures on Approximation Theory”, szerk. 2., M., Nauka, 1965, 517.2 A 95 UDC 517.51, ch. 4 „Exponenciális típusú teljes függvények néhány extrém tulajdonsága”, 82. o. „Wiener-Paley tétel”, 82. o. 179-82;
„Funkcionális elemzés”, szerk. 2, szerk. S. G. Kerin , ch. 10. „Általános függvények”, 4. tétel „Általánosított függvények Fourier-transzformációja”, 7. tétel „Paley-Wiener-Schwartz-tétel”, 511. o.;