Kovalevszkaja tétele

A parciális differenciálegyenletek elméletében fontos szerepet játszik Kovalevskaya tétele a Cauchy-probléma egyediségéről és lokális megoldhatóságáról a Kovalevskaya rendszerre vonatkozóan .

Kovalevszkaja rendszere

Ismeretlen alakfüggvényű parciális differenciálegyenlet- rendszer ${\displaystyle u_{1},u_{2},...,u_{N))$

{\frac {\partial ^{n_{i}}u_{i}(x,t)}{\partial t^{n_{i}}}}=F_{i}\left(t,x ,u_{i},...,u_{N},...,{\frac {\partial ^{a}u_{j}}{\partial t^{a_{0}}\partial x_{1 }^{a_{1}}...\részleges x_{n}^{a_{n}}}},...\jobbra),

ahol , , , , , azaz az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával, Kovalevszkaja rendszernek nevezzük . A független változót az különbözteti meg, hogy a rendszer minden függvényének legmagasabb rendű deriváltjai között van egy rendű derivált , és a rendszer ezekre a deriváltokra nézve van feloldva. $x=(x_{1},...,x_{n})$ ${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}+...+a_{n))$ ${\displaystyle a\leqslant n_{j))$ $a_{0}\leqslant n_{j}-1$ ${\megjelenítési stílus i,j=1,...,N}$ $t$ $n_{i}$ $t$ $n_{i}$

A következő jelölést használják:

D^{a'}\phi _{i}^{k}(x)={\frac {\partial ^{a'}\phi _{i}^{k}(x)}{\ részleges x_{1}^{a_{1}}...\részleges x_{n}^{a_{n}}}},

ahol , , . ${\displaystyle a'=a_{0}+a_{1}+...+a_{n))$ $a_{i}\geqslant 0$ $i=1,...,N$

Megfogalmazás

Ha minden függvény analitikus a pont szomszédságában , és a függvények definiáltak és analitikusak a pont szomszédságában , akkor a Cauchy-probléma a pont valamely szomszédságában rendelkezik analitikus megoldással , ami egyedülálló az analitikus függvények osztályában. . $\phi _{i}^{k}(x)$ $x^{0}=(x_{1}^{0},...,x_{n}^{0})$ $F_{i}$ $(t^{0},x_{1}^{0},\dots ,x_{n}^{0},\phi _{i}^{k}(x^{0}),\ pontok ,D^{a'}\phi _{i}^{k}(x^{0}),\pontok )$ $(t^{0},x_{1}^{0},\pontok ,x_{n}^{0})$

Bizonyítás

Lásd még

Cauchy-Kovalevskaya tétel

Irodalom

Vladimirov VS A matematikai fizika egyenletei. - Moszkva : "Nauka", 1981. - S. 78-79. — 512 p.