Greene-Tao tétel

A Green-Tao tétel egy számelméleti állítás, amelyet Ben Green és Terence Tao bizonyít 2004-ben [1] , hogy egy prímsorozat tetszőleges hosszúságú aritmetikai sorozatokat tartalmaz . Más szavakkal, vannak k tagú prímszámok aritmetikai sorozatai , ahol k bármilyen természetes szám lehet. A bizonyíték Szémerédy tételének kiterjesztésében rejlik .

Megfogalmazás

Bár a Green-Tao tételt csak annak a ténynek a bizonyítékaként ismerjük, hogy a prímszámok halmazában tetszőlegesen hosszú progressziók vannak jelen, ennek az állításnak [2] vannak jelentős erősítései: először is, az állítás igaz marad egy pozitív sűrűségű prímek tetszőleges halmaza (az összes prím halmazához képest); másodszor külön felső határok vannak arra vonatkozóan, hogy mekkora lehet a minimális progresszió eleme a vizsgált halmazban.

A továbbiakban a megfogalmazásokban a prímszámok halmazát jelenti. A bejegyzés jelentése , ahol a logaritmus szorzata . ${\mathbb P}$ $\log _{[k]}x$ $\log \log \dots \log x$ $k$

Greene-Tao tétel

Legyen prímek halmaza, és a prímekhez viszonyított sűrűsége szigorúan pozitív. Ekkor a halmaz egy számtani hossz-sort tartalmaz . $A$ $\delta _{\mathbb {P} }(A)=\lim \sup _{N\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{ |\mathbb {P} \cap \{1,\dots ,N\}|}}$ $k\geqslant 2$ $A$ $k$

Green külön korábbi munkájában [3] igazolt eredményt a halmaz eloszlásfüggvényére vonatkozóan , de csak egy háromtagú progresszió speciális esetére. $A$

Van egy olyan állandó , hogy ha a prímek halmaza kielégíti a -t , akkor háromtagú aritmetikai sorozatot tartalmaz. $c$ $A\subset \{1,\dots ,N\}$ $|A|>c{\frac {N{\sqrt {\log _{[5]}N))}{\log {N}{\sqrt {\log _{[4]}N)) }}$

Mivel a szükséges függvény aszimptotikusan kisebb, mint a szegmens prímeinek száma , a tétel igaz marad végtelen pozitív sűrűségű halmazokra, ha , . Így újrafogalmazhatjuk az utolsó tételt egy rögzített sűrűségre. $[1,n]$ $|A\cap \{1,\dots ,N\}|>\delta {\frac {N}{\log N))$ $\delta>0$

Létezik egy olyan állandó , hogy bármely prímhalmazra és annak sűrűségére a következő következmény érvényesül: ha , akkor háromtagú aritmetikai progressziót tartalmaz. $c$ $A\subset \{1,\dots ,N\}$ $\delta ={\frac {|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{|\mathbb {P} \cap \{1,\dots ,N\}|))$ ${\displaystyle N\geqslant e^{e^{e^{\left(\left(c/\delta ^{2}\right)^{c/\delta ^{2}}\jobbra))))) )$ $A$

Példák

2007. január 18. Jaroszlav Vroblevszkij megtalálta a 24 prímszámú aritmetikai sorozat első esetét [4] : 468 395 662 504 823 + 205 619 223 092 870 n , n = 0-tól 23-ig.

Itt a 223 092 870 konstans a 23-nál nem nagyobb prímszámok szorzata (lásd primoriális ).

2008. május 17-én Wroblewski és Raanan Chermoni 25 prímből álló sorozatot talált: 6 171 054 912 832 631 + 366 384 223 092 870 n , n = 0-tól 24-ig.
2010. április 12-én Benoit Perichon Wroblewski és Jeff Reynolds programját használva a PrimeGrid elosztott számítási projektben 26 prímszámú aritmetikai progressziót talált: 43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 223 092 870 n , n = 0-tól 25-ig ( A204189 sorozat az OEIS -ben ).

Változatok és általánosítások

2006-ban Tao és Tamar Ziegler az eredményt polinomiális progressziókra általánosította [5] . Pontosabban, bármely adott P 1 , …, P k egész együtthatójú polinomhoz egy m változó állandó nulla taggal végtelen sok x , m egész szám van úgy , hogy x + P 1 ( m ), …, x + P k ( m ) prímszámok. Az a speciális eset, amikor a polinomok m , 2 m , …, km , az előző eredményt vonja maga után (van k hosszúságú prímek számtani sorozata ).

Lásd még

Jegyzetek

↑ Green, Ben & Tao, Terence (2008), A prímszámok tetszőlegesen hosszú aritmetikai progressziókat tartalmaznak , Annals of Mathematics 167(2): 481-547 , DOI 10.4007/annals.2008.167.481 .
↑ I. D. Shkredov, Szemedy-tétel és problémák az aritmetikai progressziókról Archivált : 2018. július 24. a Wayback Machine -nál , p. 117.
↑ Green, Ben (2005), Roth tétele a prímszámokban , Annals of Mathematics 161(3): 1609-1636 , DOI 10.4007/annals.2005.161.1609
↑ Jens Kruse Andersen, Primes in Arithmetic Progression Records Archivált 2014. július 14-én a Wayback Machine -nél .
↑ Tao, Terence és Ziegler, Tamar (2008), A prímszámok tetszőlegesen hosszú polinomiális progressziókat tartalmaznak , Acta Mathematica T. 201: 213-305 , DOI 10.1007/s11511-008-0032-5 .

Greene-Tao tétel

Megfogalmazás

Példák

Változatok és általánosítások

Lásd még

Jegyzetek

Linkek