Burnside tétele

Burnside tétele a véges csoportok elméletének klasszikus tétele .

A tételt William Burnside bizonyította be a 20. század elején. [1] Burnside tétele régóta a reprezentációs elmélet leghíresebb alkalmazása a csoportelméletben . Goldsmith sokkal később talált rá bizonyítékot a csoportkarakterek használata nélkül. [2]

Megfogalmazás

Legyen a csoportnak sorrendje , ahol és a prímszámok . Akkor megengedett . _ $G$ $p^{a}\cdot q^{b}$ $p$ $q$ $G$

Jegyzetek

A tételből az következik, hogy minden nem Abel-féle véges egyszerű csoportnak van egy három különböző prímmel osztható rendje.
- Különösen a legkisebb nem Abel-féle véges egyszerű csoportnak , az alternáló csoportnak van rendje . $A_{5}$ ${\displaystyle 60=5\cdot 3\cdot 2^{2))$

Burnside bizonyítási sémája

Matematikai indukció segítségével elegendő bebizonyítani, hogy egy adott rendű egyszerű csoport Abeli -féle [3] . $G$
Sylow tétele szerint egy csoportnak vagy nemtriviális középpontja vagy méretkonjugáltsági osztálya van egyeseknél . Az első esetben, mivel a középpont a csoport normál alcsoportja , egybe kell esnie a középponttal, és ezért Abel-félenek kell lennie. Ez azt jelenti, hogy a második eset igaz: létezik a csoportnak olyan eleme, amelynél az elem konjugált osztályának mérete . $G$ ${\displaystyle p^{r))$ $r\geqslant 1$ $G$ $x$ $G$ $x$ $p^{r}>1$
A csoportkarakterek ortogonalitási tulajdonságait és az algebrai számok tulajdonságait felhasználva igazolható egy nemtriviális irreducibilis csoportkarakter úgy, hogy . $\chi$ $G$ $|\chi (x)|=\chi (1)$
A csoport egyszerűségéből következik, hogy egy karakter bármely összetett irreducibilis reprezentációja igaz (vagy pontos), és ebből következik, hogy a csoport középpontjába tartozik , ami ellentmond annak, hogy a konjugált osztály mérete nagyobb, mint 1. $G$ $\chi$ $x$ $G$

Változatok és általánosítások

Egy feloldhatatlan véges csoport rendjének bővítésében a legkisebb prímszám legalább 2-es hatványra lép be a bővítésbe.

Jegyzetek

↑ Burnside, W. (1904), On Groups of Order p α q β , Proc. London Math. szoc. (no. s2-1(1)): 388-392, doi : 10.1112/plms/s2-1.1.388 , < https://zenodo.org/record/1433459/files/article.pdf >
↑ Goldschmidt, David M. (1970), A p a q b tétel csoportelméleti bizonyítása páratlan prímekre , Math. Z. T. 113: 373–375 , DOI 10.1007/bf01110506
↑ Szkornyakov L. A. Az algebra elemei. — M.: Nauka, 1986. — S. 228-229. – Példányszám 21.000 példány.

Irodalom

James, Gordon; és Liebeck, Martin (2001). Csoportok ábrázolásai és karakterei (2. kiadás). Cambridge University Press . ISBN 0-521-00392-X . 31. fejezet
Fraleigh, John B. (2002) Az absztrakt algebra első kurzusa (7. kiadás). Addison Wesley . ISBN 0-201-33596-4 .

Linkek

R. Borcherds (angol) , Reprezentációs elmélet: Burnside tétele a YouTube -on