Energia-impulzus tenzor

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 23-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

Az energia-impulzus tenzor (EMT) egy második rangú (valencia) szimmetrikus tenzor , amely leírja az anyagmezők energia- és impulzusmezőinek sűrűségét és áramlását [1] , és meghatározza ezeknek a mezőknek a kölcsönhatását a gravitációs mezővel .

Az energia-impulzus tenzor a klasszikus kontinuummechanika energia- és impulzusfogalmainak további relativisztikus általánosítása . Egy hozzá közel álló fogalom-általánosítás a speciális relativitáselméletben a részecske energia-impulzusának 4-vektora .

Az energia-impulzus tenzor összetevői

Az energia-impulzus tenzor valódi 4x4 szimmetrikus mátrixként írható fel:

T^{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{mátrix} T^{00} & T^{01} & T^{02} & T^{03} \\ T^{10} & T^{11} & T^{12} & T^{13} \\ T^{20} & T^{21} & T^{22} & T^{23} \\ T^{30} & T^{31} & T^{32} & T^{33} \end{mátrix} \jobbra).

A következő fizikai mennyiségeket tartalmazza:

T 00 - térfogati energiasűrűség . Általános szabályként pozitívnak kell lennie , azonban a negatív energiasűrűségű lokális térbeli régiók létezése elméletileg megengedett. Egy ilyen régió különösen a Casimir-effektus segítségével hozható létre [2] .
T 10 , T 20 , T 30 a sűrűség impulzus komponensei szorozva c - vel .
T 01 , T 02 , T 03 az energiaáramlás ( Poynting vektor ) komponensei osztva c - vel . A T μν szimmetriája miatt a következő egyenlőség figyelhető meg: T 0μ = T μ0
Tisztán térbeli komponensek 3 x 3 almátrixa

T^{ik} \ = \ \left( \begin{mátrix} T^{11} & T^{12} & T^{13} \\ T^{21} & T^{22} & T^{ 23} \\ T^{31} & T^{32} & T^{33} \end{mátrix} \jobbra)

a 3 dimenziós momentum fluxussűrűség tenzor, vagy a mínusz előjelű feszültségtenzor .

Így az energia-impulzus tenzor komponenseinek mérete ML −1 T −2 .

Különleges esetek

A folyadékmechanikában átlós komponensei a nyomásnak, a többi alkatrésze pedig a viszkozitás okozta tangenciális erőknek (feszültségeknek vagy régi szóhasználattal feszültségeknek) felel meg .

Nyugalomban lévő folyadék esetében az energia-impulzus tenzor egy diagonális mátrixra redukálódik , ahol a tömegsűrűség és a hidrosztatikus nyomás. ${\rm {diag}}({{\rho }c^{2}},~p,~p,~p)$ ${\rho}$ $p$

A poros anyag egyszerű esetében az energia-impulzus tenzort így írjuk

T^{ik} = \rho\, u^iu^k

hol van a tömeg ( nyugalmi ) sűrűség, vannak a 4 sebességű komponensek - a legegyszerűbb esetre is írják, amikor minden porrészecske azonos sebességgel mozog legalább lokálisan, és ha ez utóbbi nem így van, akkor a kifejezést kell sebességekre is összegezhető (integrálható). $\rho$ $u^i, u^k$

Kanonikus energia-impulzus tenzor

A speciális relativitáselméletben a fizikai törvények a téridő minden pontján azonosak, így a 4 koordináták fordítása nem változtathatja meg a tér mozgásegyenleteit. Így Noether tétele szerint az infinitezimális tér-idő fordításoknak meg kell felelniük egy konzervált Noether-folyamnak, amelyet ebben az esetben kanonikus EMT-nek nevezünk.

A Lagrange - függvény (a Lagrange-függvény sűrűsége) esetén, amely a mezőfüggvényektől és azok első deriváltjaitól függ, de nem függ a koordinátáktól, a műveleti függvény invariáns lesz a fordítások alatt: $\mathcal{L}_\mathrm{M} = \mathcal{L}_\mathrm{M} ( \phi_i , \partial_{\mu} \phi_i )$ ${\displaystyle \phi _{i))$

\begin{cases} x^{\mu} \to x^{\prime\mu} = x^{\mu} + \delta x^{\mu} \\ \phi_i(x) \to \phi_i^{ \prime}(x^{\prime}) = \phi_i(x). \end{cases}

A Noether-tételből a kanonikus EMT megmaradási törvénye következik (galileai koordinátákkal írva)

{{T_c}^\mu}_\nu (x) = \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial \mathcal{L}_\mathrm{M)) {\partial (\partial_ {\mu} \phi_{i})} \partial_{\nu} \phi_{i} - \mathcal{L}_\mathrm{M} \delta^\mu_\nu ,

ami úgy néz ki

\partial_{\mu} {T^\mu}_\nu \equiv T^\mu_{\nu,\;\mu}=0.

A kanonikus EMT teljesen ellentmondó formájában a formával rendelkezik

T^{\mu\nu} = g^{\nu\rho}\, {T^\mu}_\rho = \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial \mathcal{L }_\mathrm{M)) {\partial (\partial_{\mu} \phi_{i})} \partial^{\nu} \phi_{i} - \mathcal{L}_\mathrm{M} g ^{\mu\nu} .

Ez a tenzor kétértelmű. A kétértelműség tulajdonságával általánosságban elmondható, hogy egy aszimmetrikus tenzort szimmetrikus alakba hozhatunk, ha hozzáadunk egy tenzormennyiséget , ahol a tenzor az utolsó két indexben antiszimmetrikus . Valóban, egy szimmetrikus EMT -hez ${\displaystyle T^{\mu \nu ))$ $\frac{\partial \psi^{\mu\nu\lambda}}{\partial x^{\lambda}}\;,$ $\psi^{\mu\nu\lambda}\;$ ${\displaystyle \psi ^{\mu \nu \lambda }=-\psi ^{\mu \lambda \nu ))$

\Theta^{\mu\nu} = T^{\mu\nu} + \partial_\lambda \psi^{\mu\nu\lambda}

automatikusan követi a természetvédelmi törvényt $\partial_\nu \Theta^{\mu\nu} = 0 .$

Metrikus energia-impulzus tenzor

Az általános relativitáselméletben az úgynevezett metrikus EMT - t a metrikus tenzor variációs deriváltjaként fejezik ki a téridő egy pontjában az akciófunkcionális Lagrange-sűrűségéből, amely invariáns a koordináták változása esetén. : $T^ {\mu \nu} (x)$ $g_{\mu \nu }$ $x$

{T_m}^{\mu \nu} (x) = \frac {2}{\sqrt{-g)) \frac {\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M} )}{ \delta g_{\mu \nu} (x)}=g^{\mu \nu} \mathcal{L}_\mathrm{M} - 2 \frac{\delta \mathcal{L}_\ mathrm{M}}{\delta g_{\mu \nu}}=

=\frac {2}{\sqrt{-g}}\left(\frac{\partial (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{ \partial g_{\mu \ nu} (x)}-\frac{\partial}{\partial x^\lambda}\frac {\partial (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\partial\ displaystyle\frac{\partial g_{\mu \nu} (x)}{\partial x^\lambda))+\ldots\right),

ahol Ez az energia-impulzus tenzor nyilvánvalóan szimmetrikus. A metrikus EMT a gravitációs mező külső forrásaként szerepel az Einstein-egyenletekben : $g(x) = \det \left ( g_{\mu \nu} (x) \jobbra ).$

\frac {c^4}{8 \pi G} \left ( R_{ \mu \nu } - \frac {1}{2} g_{ \mu \nu } R + \Lambda g_{ \mu \nu } \right ) = T_{ \mu \nu } (x),

ahol a Ricci tenzor , a skaláris görbület . Erre a tenzorra a cselekvés változatlansága miatt a koordinátahelyettesítések tekintetében differenciális megmaradási törvény érvényes a formában $R_{ \mu \nu }$ $R = g^{ \mu \nu } R_{ \mu \nu }$

T^\mu_{\nu;\mu}=0.

Az energia-impulzus tenzor a klasszikus elektrodinamikában

A klasszikus elektrodinamikában az elektromágneses mező energia-impulzus tenzora a Nemzetközi Mértékegységrendszerben (SI) a következőképpen alakul:

T_{00} = \frac{\mathbf E \cdot \mathbf D}{2} + \frac{\mathbf B \cdot \mathbf H}{2}

\begin{pmatrix} T_{01} & T_{02} & T_{03} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} T_{10} & T_{20} & T_{30} \end{pmatrix} = \frac{1}{c} \left[ \mathbf E \times \mathbf H \right]

T_{ij} = E_i D_j + B_i H_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}(\mathbf E \cdot \mathbf D + \mathbf B \cdot \mathbf H) = E_i D_j + B_i H_j - \delta_{ij}T_{00}.

A térbeli komponensek egy háromdimenziós tenzort alkotnak, amelyet Maxwell-féle feszültségtenzornak [3] vagy Maxwell feszültségtenzornak [4] neveznek . $T_{ij}$

Kovariáns formában a következőket írhatjuk :

T^{\mu\nu} = -\frac{1}{\mu_0}[ F^{\mu \alpha}F_{\alpha}{}^{\nu} + \frac{1}{4} \ eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}]\,.

Az energia-impulzus tenzor a kvantumtérelméletben

Jegyzetek

↑ Az anyagmezőket (anyagmezőket) az általános relativitáselméletben hagyományosan minden mezőnek nevezik, kivéve a gravitációs mezőket.
↑ M. Morris, K. Thorne és U. Yurtsever, Wormholes, Time Machines and the Weak Energy Condition Archiválva : 2012. július 17. , Physical Review , 61 , 13, 1988. szeptember, pp. 1446-1449
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Field theory. - 7. kiadás, átdolgozott. - M .: Nauka , 1988 . - P. 115. - ("Elméleti fizika", II. kötet). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Stepanovsky Yu. P. Maxwell feszültségtenzor // Fizikai enciklopédia / Ch. szerk. A. M. Prohorov . - M. : Great Russian Encyclopedia , 1992. - T. 3. Magnetoplasma kompresszor - Poynting-tétel. - S. 32-33. — 672 p. - 48.000 példány. — ISBN 5-85270-019-3 .

Irodalom

Landau L. D. , Lifshits E. M. Field theory. - 8. kiadás, sztereotip. — M .: Fizmatlit , 2001. — 534 p. - (" Elméleti fizika ", II. kötet). — ISBN 5-9221-0056-4 .
- 32. § - kanonikus TEI
- 94. § - metrikus TEI.