Funkció Összetétel

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. március 20-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A függvények kompozíciója ( szuperpozíciója ) az egyik függvénynek a másik eredményére való alkalmazása.

A függvény összetételét és általában [1] [2] jelöléssel jelölik , ami azt jelenti, hogy egy függvény eredményére függvényt kell alkalmazni , azaz . $F$ $G$ $G\circ F$ $G$ $F$ $(G\circ F)(x)=G(F(x))$

Definíció

Legyen két függvény adott , és hol van a halmaz képe Ekkor ezek összetétele a [3] egyenlőség által meghatározott függvény : $F\colon X\to Y$ ${\textstyle G\colon F[X]\to Z,}$ $F[X]\subseteq Y$ $x.$ $G\circ F\colon X\to Z$

(G\circ F)(x)=G(F(x)),\;x\in X.

Kapcsolódó definíciók

Az „ összetett függvény ” kifejezés két függvény összetételére alkalmazható, amelyek mindegyikének van egy argumentuma [4] . Használható olyan helyzetben is, amikor egy vagy több kezdeti változóból több függvényt táplálunk egyszerre több változó függvényének bemenetére [5] . Például több változó összetett függvényét az alak függvényének nevezhetjük $G$ $G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)),$

mert ez egy függvény, amelynek bemenete az és a függvények eredményei .

F

u

v

Összetétel tulajdonságai [3]

Az összetétel asszociatív : $(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F).$
Ha az identitásleképezés a -n van , azaz $F={\mathrm {id}}_{X}$ $x$ $F(x)=\mathrm {id} _{X}(x)=x,\;\all x\in X,$

akkor

G\circ F=G.

Ha az identitásleképezés a -n van , azaz $G={\mathrm {id}}_{Y}$ $Y$ $G(y)=\mathrm {id} _{Y}(y)=y,\;\all y\in Y,$

akkor

G\circ F=F.

A leképezések összetétele általában véve nem kommutatív , azaz például adott függvények , akkor azonban , $F\colon X\to X$ $G\colon X\to X$ $F\circ G\not =G\circ F.$ $F\colon x\mapsto x^{2},~G\colon x\mapsto 2x$ $G\circ F\colon x\mapsto 2x^{2},$ $F\circ G\colon x\mapsto 4x^{2}.$

További tulajdonságok

Legyen egy függvénynek határértéke egy pontban és egy függvénynek egy pontban . Ekkor, ha létezik a pontnak egy átszúrt környéke , amelynek a halmazsal való metszéspontját a függvény a pont kiszúrt környékére képezi le , akkor a pontban van egy kompozíciós határ , és a következő egyenlőség érvényesül: $f\kettőspont X\Y-ra$ $a$ $\lim_{x \to a}f(x) = b$ $g\colon f[X]\subseteq Y\to Z$ $b$ $\lim _{y\to b}g(y)$ $a$ $x$ $f\kettőspont X\Y-ra$ $b$ $a$ $g\circ f\colon X\to Z$ $\lim_{x \to a}g(f(x)) = \lim_{y \to b}g(y).$
Ha a függvénynek határértéke van a pontban , és a függvény a pontban folytonos , akkor a pontban van korlátja a függvények összetételének, és a következő egyenlőség érvényesül: $f\kettőspont X\Y-ra$ $a$ $\lim_{x \to a}f(x) = b$ $g\colon f(X)\subseteq Y\to Z$ $b$ $a$ $g\circ f\colon X\to Z$ $\lim _{x\to a}g(f(x))=g(\lim _{x\to a}f(x))=g(b).$
A folytonos függvények összetétele folytonos. Legyenek topológiai terek . Legyen és két függvény, , és ahol az összes olyan függvény halmaza, amelyek első deriváltja egy adott pontban létezik. Akkor . $(X,{\mathcal {T}}_{X}),(Y,{\mathcal {T}}_{Y}),(Z,{\mathcal {T}}_{Z})$ $f\kettőspont X\Y-ra$ $g\colon f[X]\subseteq Y\to Z$ $y_{0}=f(x_{0})$ $f\in C(x_{0})$ $g\in C(y_{0}),$ $C$ $g\circ f\in C(x_{0})$

A differenciálható függvények összetétele differenciálható. Legyen , , és . Aztán , és $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $y_{0}=f(x_{0})$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ $g\in {\mathcal {D}}(y_{0})$ $g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$

(g\circ f)'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})

Jegyzetek

↑ Megnevezés . Letöltve: 2021. május 10. Az eredetiből archiválva : 2021. február 24. (határozatlan)
↑ A függvények összetétele . www.mathsisfun.com . Letöltve: 2021. május 10. Az eredetiből archiválva : 2020. december 31. (határozatlan)
↑ 1 2 Kostrikin, 2004 , p. 37-38.
↑ Komplex függvény deriváltja . www.math24.ru _ Letöltve: 2021. május 10. Az eredetiből archiválva : 2021. május 10. (határozatlan)
↑ több változó függvényei . Letöltve: 2021. május 10. Az eredetiből archiválva : 2021. május 10. (határozatlan)

Irodalom

Kostrikin A.I. Bevezetés az algebrába. 1. rész. Az algebra alapjai. - 3. kiadás - M . : FIZMATLIT, 2004. - 272 p. - ISBN 5-9221-0487-X.