Sztochasztikus közelítés

A sztochasztikus közelítés egy ismétlődő módszer a regressziós egyenletek megoldására és a regressziós függvények szélsőségeire vonatkozó becslések konzisztens sorozatának összeállítására nem-paraméteres becslési problémák esetén. A biológiában, kémiában, orvostudományban a kísérletek eredményeinek elemzésére használják. Az automatikus vezérlés elméletében felismerési, azonosítási, tanulási és adaptációs problémák megoldásának eszközeként használják [1] . A sztochasztikus közelítési módszer megalapítói Kiefer, Wolfowitz [2] , Robins , Monroe [3] .

Megoldás keresése a regressziós egyenletre

A paraméter minden értéke feleljen meg egy kísérletileg mért valószínűségi változónak az eloszlásfüggvénnyel , és az érték matematikai elvárásaival egy rögzített paraméternél . Megoldást kell találni a regressziós egyenletre . Feltételezzük, hogy a regressziós egyenlet megoldása egyedi, a és a függvényei pedig ismeretlenek. $x$ $y$ $F(y|x)$ $y$ $x$ $m(y|x)=m(x)$ $m(x)=\alpha$ $F(y|x)$ $m(x)$

A regressziós egyenlet gyökerének becsléséhez szükséges sztochasztikus közelítési eljárás abból áll, hogy a mért valószínűségi változók tapasztalatai alapján kapott betanítási mintát használjuk . ${\kalap {x}}$ $m({\hat {x)))=\alpha$ $y_{1},...,y_{n}$

A kívánt gyökér becslése az előző becslésen alapul, a mért valószínűségi változó betanítási értékének felhasználásával a reláció segítségével , ahol , tetszőleges szám [3] . ${\displaystyle {\hat {x_{n+1))))$ ${\displaystyle {\kalap {x_{n))))$ $y_{n}$ ${\hat {x_{n+1}}}={\kalap {x_{n}}}+a_{n}(\alpha -y_{n})$ $n\geqslant 1$ ${\displaystyle {\hat {x_{1))))$

Ha az együtthatók sorozata kielégíti a , , feltételeket , akkor a becslés valószínűsége az egyenlet gyökére hajlik . $a_{n}$ $a_{n}>0$ $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\infty$ $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{2}<\infty$ $n\to\infty$ ${\displaystyle {\hat {x_{n+1))))$ $m({\hat {x)))=\alpha$

A regressziós függvényre vonatkozó további követelményekkel a becslések az átlagnégyzetben konvergálhatnak a [4] [5] regressziós egyenlet megoldásához . $m(x)$ ${\displaystyle {\hat {x_{n+1))))$

Példák

A réz és vas ötvözetének keménysége attól függ, hogy mennyi idő alatt van kitéve az ötvözet magas hőmérsékletnek. Ebben az esetben a mért valószínűségi változó az ötvözet keménysége, a feladat pedig annak meghatározása , hogy az ötvözet milyen időpontban rendelkezik adott keménységgel [6] . $y$ $x$ $y$ ${\kalap {x}}$ $y=\alpha$

A regressziós függvény szélsőértékének megkeresése

A regressziós függvény szélsőértékének becslését a mért valószínűségi változó előző becslése és betanítási értékei alapján kapjuk meg a reláció segítségével , ahol , tetszőleges szám, pozitív számok sorozata, és a szekvenciák és függetlenek, és megfelelnek a paraméter és a [2] értékeinek . ${\displaystyle {\hat {x_{n+1))))$ ${\displaystyle {\kalap {x_{n))))$ $y_{2n}$ $y_{2n-1}$ ${\hat {x_{n+1}}}={\kalap {x_{n}}}+{\frac {a_{n}}{c_{n}}}(y_{2n}-y_ {2n-1})$ $n\geqslant 1$ ${\displaystyle {\hat {x_{1))))$ $a_{n}$ $y_{2n}$ $y_{2n-1}$ ${\hat {x_{n}}}+c_{n}$ ${\hat {x_{n}}}-c_{n}$

Ha az együtthatók sorozatai teljesítik a , , , , , , feltételt , akkor esetén a becslés a regressziós függvény szélsőértékére hajlik. $a_{n}$ $c_{{n}}$ $a_{n}>0$ $c_{n}>0$ $c_{n}\to 0$ $n\to\infty$ $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\infty$ $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}c_{n}<\infty$ $\sum _{n=1}^{\infty }({\frac {a_{n}}{c_{n}}})^{2}<\infty$ $n\to\infty$ ${\displaystyle {\hat {x_{n+1))))$

A regressziós függvényre vonatkozó további követelményekkel a becslések az átlagnégyzetben konvergálhatnak a regressziós függvény szélsőértékéhez [5] . $m(x)$ ${\displaystyle {\hat {x_{n+1))))$

Példák

Egy földterület hozama a műtrágya mennyiségétől függ . Ebben az esetben a mért valószínűségi változó a terméshozam , a feladat pedig az, hogy meghatározzuk azt a műtrágyamennyiséget , amelynél a földterületen a maximális terméshozam érhető el [6] . $y$ $x$ $y$ ${\kalap {x}}$

Jegyzetek

↑ Tsypkin Ya.Z. „Alkalmazkodás, tanulás és öntanulás automatikus rendszerekben”, // Automatizálás és telemechanika . - 1966. - 1. sz. - S. 23–61. — ISSN 0005-2310. — URL: http://mi.mathnet.ru/at10991
↑ 1 2 Kiefer J., Wolfowitz J. Egy regressziós függvény maximumának sztochasztikus becslése // Ann. Math. statisztika. - 1952. - v. 23. - 3. sz.
↑ 1 2 Robbins N., Monro S. Sztochasztikus közelítési módszer // Annals of Math. statisztika. - 1951. - v. 22. - 1. sz. - S. 400-407.
↑ Vazan, 1972 , p. tizennyolc.
↑ 1 2 Loginov N. V. „A sztochasztikus közelítés módszerei” // Automatizálás és távvezérlés . - 1966. - 4. sz. - S. 185-204. — ISSN 0005-2310. — URL: http://mi.mathnet.ru/at11080
↑ 1 2 Vazan, 1972 , p. tíz.

Irodalom

Vazan M. Sztochasztikus közelítés. — M .: Mir, 1972. — 295 p.
Tsypkin Ya.Z. A tanulási rendszerek elméletének alapjai. - M. : Nauka, 1970. - 251 p.
Tsypkin Ya.Z. Alkalmazkodás és tanulás automata rendszerekben. — M .: Nauka, 1968. — 399 p.