Felbontás (homológiai algebra)

A reszolvens a homológiai algebra egyik fontos eszköze , különösen az Ext és a Tor függvények kiszámítására használják .

Projektív felbontás

Egy komplex ( X , ε ) egy R -modulon C egy sorozat

$\cdots~X_{n+1}\stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}X_{n}\stackrel{d_{n}}{\longrightarrow}~\cdots~\stackrel{d_{2} }{\longrightarrow}X_{1}\stackrel{d_{1}}{\longrightarrow}X_{0}\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}C{\longrightarrow}0$ (*)

Ha minden X szabad, akkor a komplexet szabadnak, ha mindegyik projektív , akkor projektívnek nevezzük. Ha a (*) szekvencia pontos , azaz minden homológia H n ( X ) = ker d n /im d n +1 = 0 n > 0 esetén és H 0 ( X ) = ker d 0 /im d 1 = X 0 / im d 1 = X 0 /ker ε izomorf C -vel ( d 0 : X 0 → 0 feltételével), akkor ezt a komplexet R rezolválójának nevezzük . Mivel bármely C modul egy szabad egy hányados modulja, bármelyik C modul beilleszthető valamilyen szabad (és ráadásul projektív) felbontásba.

Azt a legkisebb k indexet , amelyben minden X n nulla n > k esetén, a rezolvens hosszának nevezzük. Egy modul projektív mérete a projektív felbontásának legkisebb hossza. Például egy projektív modul pontosan egy 0 projektív dimenziójú modul.

Az Ext n függvényeket a következő tétel szerint találjuk: Ha C és A R - modulok és ε : X → C C bármely projektív felbontása , akkor Ext n ( C , A ) izomorf a H n ( ) kohomológia csoporttal. X , A ) = H n (Hom R ( X , A )) . A Tor n függvényeket a következő tétel szerint találjuk: Ha C és A R -modulok és ε : X → C C bármely projektív felbontása , akkor Tor n ( C , A ) izomorf a H n ( X ⊗ R A ) .

Injektív felbontás

Egy komplex ( Y , ε ) egy R -modul A alatt egy sorozat:

$0{\longrightarrow}A\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}Y^{0}\stackrel{\delta^{1}}{\longrightarrow}Y^{1}\stackrel{\delta^{2}} {\longrightarrow}~...~\stackrel{\delta^{n}}{\longrightarrow}Y^{n}\stackrel{\delta^{n+1}}{\longrightarrow}Y^{n+1 }{\longrightarrow}~\cdots$ (**)

úgy, hogy két egymást követő homomorfizmus szorzata 0. Ha minden Y injektív , akkor a komplexet injektívnek mondjuk. Ha a (**) szekvencia pontos, azaz az összes kohomológia H n ( Y ) = ker δ n +1 /im δ n = 0 , ha n > 0 és H 0 ( Y ) = ker δ 1 /im δ 0 = ker δ 1 = im ε izomorf A -val ( δ 0 : 0 → Y 0 feltételével ), akkor ezt a komplexet magrezolvensnek nevezzük (általában ebben az esetben a „ko” ki van hagyva, és injektív felbontásról beszélünk) . Mivel bármely A modul egy injektív almodul és így tovább, bármelyik A modul beépíthető valamilyen injektív felbontásba.

Az Ext n függvényeket a következő tétel szerint találjuk: Ha C és A R - modulok és ε : A → Y A tetszőleges injektív felbontása , akkor Ext n ( C , A ) izomorf a H n ( kohomológia csoporttal) Hom R ( C , Y ) ) .

Irodalom

Cartan A. , Eilenberg S. Homológiai algebra. - M: IL, 1960
McLane S. Homológia. - M: Mir, 1966