Rendszeres helyi gyűrű

A szabályos lokális gyűrű olyan Noether -féle lokális gyűrű , amelynek maximális ideáljának generátorainak száma egybeesik a Krull dimenzióval . A szabályos elnevezést geometriai okok magyarázzák. Egy algebrai változat pontja akkor és csak akkor nem szinguláris ( reguláris ), ha a racionális függvények csíráinak lokális gyűrűje a pontban szabályos. $x$ $x$ $\mathcal{O}_{X, x}$ $x$

Egyenértékű definíciók

A szabályos helyi gyűrűnek számos hasznos meghatározása létezik. Ha egy Noether-féle lokális gyűrű maximális ideál , akkor a következő definíciók egyenértékűek: $A$ $\mathfrak m$

Legyen ahol a lehető legkisebb legyen (mindenesetre n nem lehet kisebb, mint a Krull dimenzió). rendszeresen ha $\mathfrak{m} = (a_1, \ldots, a_n)$ $n$ $A$

\mbox{dim} A = n.

Legyen a gyűrű maradék mezője . Aztán rendszeresen ha $k = A / \mathfrak{m}$ $A$ $A$

\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A

, Itt az első dimenzió a vektortér dimenziója, a második pedig a Krull dimenzió.

Legyen a globális dimenzió (azaz az összes -modul projektív dimenzióinak felsőbbsége .) Akkor rendszeresen, ha $\mbox{gl dim } A$ $A$ $A$ $A$

{\mbox{gl dim }}A<\infty

, ebben az esetben mindig egybeesik a Krull dimenzióval.

\mbox{gl dim } A

Példák

Bármely mező szabályos helyi gyűrű. Valójában a mezők pontosan szabályos helyi gyűrűk, amelyek mérete 0.
Az 1. dimenziójú szabályos helyi gyűrűk pontosan a diszkrét értékelési gyűrűk . A formális hatványsorok gyűrűje ( k tetszőleges mező) egy szabályos lokális gyűrű. Egy másik példa a p -adikus számok gyűrűje . $k[[x]]$
Általánosabban fogalmazva, a formális hatványsor gyűrű egy szabályos lokális d dimenziójú gyűrű . $k[[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{d}]]$
Ha A szabályos gyűrű (lásd a definíciót lentebb ), akkor a polinomok gyűrűje és a formális hatványsorok gyűrűje reguláris. $Fejsze]$ $A[[x]]$
A szabályos gyűrű bármely lokalizációja szabályos. Például egy kétdimenziós szabályos gyűrű, amely nem tartalmaz mezőt. $\mathbb Z[x]_{(2,x)}$
A szabályos gyűrű befejezése szabályos.

Tulajdonságok

Az Auslander-Buchsbaum tétel kimondja, hogy minden szabályos lokális gyűrű faktoriális.

Ha egy teljes, szabályos helyi gyűrű, amely valamilyen mezőt tartalmaz, akkor $(A,\mathfrak{m})$

A \cong k[[x_1, \ldots, x_d]]

ahol , és a Krull dimenzió. $k = A / \mathfrak{m}$ $d$

Az alapvető definíciók eredete

A szabályos lokális gyűrű meghatározását Wolfgang Krull adta meg 1937-ben, [1] de Oskar Zariski [2] [3] munkájának köszönhetően váltak híressé , aki bebizonyította, hogy a szabályos lokális gyűrűk algebrai változatok sima pontjainak felelnek meg. Legyen Y egy algebrai változat , amely egy n - dimenziós affin térben található egy tökéletes mező felett , amely polinomok közös nulláinak halmaza ( n változóban) f 1 ,…, f m . Y szinguláris egy P pontban, ha a Jacobi - mátrix (mátrix (∂ f i /∂ x j )) rangja ebben a pontban alacsonyabb, mint a sokaság egy másik pontjában. A sokaság mérete egyenlő az n és a Jacobi-mátrix rangja közötti különbséggel egy nem szinguláris pontban. Zariski bebizonyította, hogy a Jacobi P mátrix akkor és csak akkor nem szinguláris, ha Y helyi gyűrűje P - ben szabályos. (Zariski azt is megjegyezte, hogy ez nem feltétlenül igaz a tökéletlen mezőkre.) Ebből az következik, hogy a simaság a sokaság belső tulajdonsága, vagyis nem függ attól, hogy az elosztó milyen beágyazással van egy affin térben. Az 1950-es években Auslander és Buchsbaum bebizonyította, hogy egy szabályos helyi gyűrű tényező.

A lokális gyűrűk számos tulajdonsága bizonyítatlan maradt egészen addig az időig, amíg a homológ algebra megfelelő technikái megjelentek . Jean-Pierre Serre megtalálta a szabályos lokális gyűrűk leírását homológ módon: egy lokális A gyűrű akkor és csak akkor szabályos, ha véges globális dimenziója van . Könnyen bizonyítható, hogy a globális dimenzió végességi tulajdonsága változatlan marad a lokalizáció alatt. Ez lehetővé teszi, hogy minden gyűrűre szabályszerűséget definiáljunk, nem feltétlenül a lokálisakra: egy A gyűrűt regulárisnak nevezünk, ha egy tetszőleges prímideálhoz viszonyított lokalizációja szabályos lokális gyűrű. Ez egyenértékű azzal, hogy A -nak véges globális dimenziója van. Különösen az összes Dedekind gyűrű szabályos.

Jegyzetek

↑ Krull, Wolfgang (1937), Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III, Math. Z. : 745–766
↑ Zariski, Oscar (1940), Algebrai fajták 0 karakterisztikus talajmezőkön, Amer. J Math. T. 62: 187–221
↑ Zariski, Oscar (1947), Egy absztrakt algebrai változat egyszerű pontjának fogalma, Transz. amer. Math. szoc. T. 62: 1–52

Irodalom

Jean-Pierre Serre , Helyi algebra, Springer-Verlag , 2000 - ISBN 3-540-66641-9 . fejezet IV.D.