Hilbert program

Hilbert matematikai programját David Hilbert német matematikus fogalmazta meg a 20. század elején. Hilbert azt javasolta, hogy az összetettebb rendszerek konzisztenciája, mint például a valós változó függvényeinek elmélete, egyszerűbb rendszerekkel igazolható. Végső soron az ő javaslata szerint az összes matematika konzisztenciája egyszerű aritmetikára redukálható .

Gödel hiányossági tétele megmutatta, hogy Hilbert programja nem vonatkozik a matematika legtöbb területére.

Hilbert programjának főbb megállapításai

Hilbert programjának fő célja az volt, hogy szilárd alapot biztosítson az egész matematikához. Ennek különösen a következőket kell tartalmaznia:

• Az összes matematika megfogalmazása ; más szóval, minden matematikai állítást pontos formális nyelven kell megírni, és jól meghatározott szabályok szerint kell kezelni.
• Teljesség : annak bizonyítéka, hogy minden igaz matematikai állítás formálisan igazolható.
• Konzisztencia : annak bizonyítéka, hogy a matematika formalizmusában nem lehet ellentmondást találni. Ez a konzisztencia-bizonyítás lehetőleg csak "véges" érvelést használjon véges matematikai objektumokról.
• Konzerválás : annak bizonyítása, hogy az "ideális objektumok" (például számtalan halmaz) érvelésével kapott "valódi objektumokra" vonatkozó bármely eredmény igazolható ideális objektumok használata nélkül.
• Algoritmikus eldönthetőség : Van egy algoritmus bármely matematikai állítás igazának vagy hamisságának meghatározására.

Lásd még

• Godel befejezetlenségi tétele
• Peano aritmetika
• David Gilbert
• Tarski algoritmusa

Irodalom

• Gentzen G., 1936/1969. Die Widerspruchfreiheit der reinen Zahlentheorie. Mathematische Annalen 112:493-565. „Az aritmetika konzisztenciája”-ként fordítva, Gerhard Gentzen , ME Szabó (szerk.), 1969-ben.
• D. Hilbert. "Die Grundlagen Der Elementaren Zahlentheorie". Mathematische Annalen 104:485-94. W. Ewald fordítása: „Az elemi számelmélet megalapozása”, pp. 266-273, Mancosu (szerk., 1998) Brouwertől Hilbertig : A vita a matematika alapjairól az 1920 -as években , Oxford University Press. New York.
• S.G. Simpson, 1988. Hilbert programjának részleges megvalósításai . Journal of Symbolic Logic 53:349-363.
• R. Zach , 2006. Hilbert programja egykor és most. Philosophy of Logic 5:411-447, arXiv: math/0508572 [math.LO].