A kettősség elve (halmazelmélet)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. január 13-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A halmazelméletben a dualitás elve egy kijelentés a halmazokon végzett műveletek tulajdonságairól.

Megfogalmazás

Legyen adott egy halmaz . Tekintsük az összes részhalmazának rendszerét . A következő állítás igaz: ha igaz a halmaz részhalmazaira vonatkozó tétel , amelyet csak az unió ( ), a metszet ( ) és a komplementer ( ) műveleteivel fogalmazunk meg , akkor az ebből kapott tétel az unió műveletének helyettesítésével. és a metszés a metszés és az unió műveleteivel is igaz, az üres halmaz a halmaz , a halmaz pedig az üres halmaz. $M$ $M$ $A\cup B$ $A\cap B$ ${\overline {A}}$ $\emptyset$ $M$ $M$

Példák

Tétel. Bármely részhalmazra és halmazra igaz, hogy . $A$ $B$ $C$ $M$ $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$

Ebből a (helyes) tételből a kettősség elve alapján hasonló állítás nyerhető a következő egyenlőséggel: . $(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)$

Tétel. A halmaz bármely részhalmazára igaz, hogy . $A$ $M$ $A\cap {\overline {A}}=\emptyset$

Ebből a (helyes) tételből a kettősség elve alapján hasonló állítás nyerhető a következő egyenlőséggel: . $A\cup {\overline {A}}=M$

Fontos megjegyezni, hogy a dualitás elve csak olyan esetekben alkalmazható, amikor a tétel kijelentése két kifejezés egyenlőségét feltételezi a halmazokkal szemben; egyéb esetekben megsérthető. Például bármely részhalmazra és halmazra igaz, hogy ; a kettős állítás ( ) azonban hamis. $A$ $B$ $M$ $A\cap B\subseteq A\cup B$ $A\cup B\subseteq A\cap B$

Irodalom

A kettősség elve // Gogol - Debit. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1972. - ( Great Soviet Encyclopedia : [30 kötetben] / főszerkesztő A. M. Prohorov ; 1969-1978, 7. köt.).