Élvezd a példát

A dinamikus rendszerek elméletében Denjoy példája egy irracionális forgásszámú kördiffeomorfizmus példája , amelynek Cantor invariáns halmaza van (és ennek megfelelően nem konjugált egy tiszta forgással). M. Erman ezután példákat konstruált egy ilyen diffeomorfizmusra a simasági osztályban (vagyis egy kitevővel rendelkező Hölder -származékkal ) bármely . Ezt a simaságot nem lehet tovább növelni: a Lipschitz-derivatívával (és még olyan deriválttal is, amelynek logaritmusa korlátozott variációval) rendelkező diffeomorfizmusokra érvényes a Denjoy-tétel , amely kimondja, hogy egy ilyen irracionális forgásszámú diffeomorfizmus irracionális forgással konjugált (a megfelelő értékkel). forgásszám). $C^1$ $C^{1+\varepsilon }$ $C^1$ $\varepsilon$ $\varepszilon<1$

Építkezés

Példa a homeomorfizmusra

A legegyszerűbb példát egy kör homeomorfizmusra adjuk, amelynek forgási száma irracionális, de nem minimális . Nevezetesen vegyünk egy elforgatást valamilyen irracionális szögben , és válasszunk egy tetszőleges kiindulási pontot . Tekintsük a pályáját (minden egész számra , pozitív és negatív egyaránt). Végezzük el a következő átrendezést: minden pontban levágjuk a kört és beillesztünk egy bizonyos hosszúságú intervallumot úgy, hogy a beillesztett intervallumok hosszának összege konvergál: $R$ $\alpha$ $x_{0}$ $x_{n}=R^{n}(x_{0})$ $n$ $x_{n}$ $Ban ben}$ $l_{n}>0$

\sum _{n=-\infty }^{\infty }l_{n}<\infty .

Ekkor az ilyen beillesztés után kapott halmaz továbbra is kör lesz, ráadásul a természetes Lebesgue-mértékkel (amely a levágott régi körön a Lebesgue-mértékből, a beillesztett intervallumokon pedig a Lebesgue-mértékből áll), vagyis a hossza - ill. , ezért sima szerkezet. Ha a térképet tetszőlegesen kiterjesztjük a régi körből úgy, hogy az intervallumot az intervallumra képezze le, például az affin térképet választva kiterjesztésként -tól -ig , megkapjuk az új kör f homeomorfizmusát azonos forgásszámmal . Ennek a homeomorfizmusnak azonban van egy Cantor invariáns halmaza (a régi kör ponthalmazának lezárása), ezért nem konjugálható irracionális fordulattal. $R$ $Ban ben}$ $I_{n+1}$ $Ban ben}$ $I_{n+1}$ $\alpha$ $K$

Ha egy hosszúságsorozatot úgy választunk meg , hogy a relációk sorozata korlátos maradjon , egy affin kiterjesztésű konstrukció esetén elérhető a konstruált homeomorfizmus Lipschitz-tulajdonsága. Ahhoz azonban, hogy a megszerkesztett leképezés diffeomorfizmus legyen, a szegmensekre való kiterjesztést finomabban kell megválasztani. ${\displaystyle l_{n))$ $l_{n}/l_{n+1}$ $n\to \pm \infty$ $Ban ben}$

Példa az osztályban $C^1$

Az osztályban szereplő példa úgy van megszerkesztve, hogy a Cantor-halmaz konstruált diffeomorfizmusának deriváltja – az eredeti kör ponthalmazának lezárása – egyenlő 1-gyel (mivel a Lebesgue mérték ezen a halmazon megmarad a konstruált diffeomorfizmus által ez szükséges feltétele egy ilyen konstrukciónak). Ezért az intervallumcsere megszorításait úgy kell megválasztani, hogy a következő feltételek teljesüljenek: $C^1$ $f$ $K$ $Ban ben}$ $\varphi _{n}=f|_{I_{n}}:I_{n}\to I_{n+1}$

(D1) Az intervallum végén lévő derivált 1. $\varphi_n$ $Ban ben}$
(D2) Mivel a leképezések deriváltjai egyenletesen 1-re hajlanak. $n\to \pm \infty$ $\varphi_n$

Az utolsó feltétel szükséges, mivel a növekedéssel az intervallumok a Cantor halmazba halmozódnak fel . Sőt, könnyen belátható, hogy ezek a feltételek elegendőek ahhoz, hogy a térkép -diffeomorfizmus legyen . $n$ $Ban ben}$ $K$ $f$ $C^1$

Lagrange tétele értelmében a szakaszon van egy pont, amelynek deriváltja egyenlő lesz . A második feltétel tehát megköveteli, hogy a sorozat érvényes legyen $Ban ben}$ ${\displaystyle l_{n+1}/l_{n))$ ${\displaystyle l_{n))$

\lim _{n\to \pm \infty }l_{n}/l_{n+1}=1.\qquad (*)

Mint kiderült, ez a hosszokra vonatkozó feltétel is elegendő a -diffeomorfizmus létrehozásához. A leképezéseket ugyanis a következőképpen választjuk ki: a és szegmenseken olyan koordinátákat vezetünk be, amelyek azonosítják őket a és szelvényekkel , és a leképezést a következőképpen választjuk ki. $C^1$ $\varphi_n$ $Ban ben}$ $I_{n+1}$ $[-l_{n}/2,l_{n}/2]$ $[-l_{n+1}/2,l_{n+1}/2]$ $\varphi_n$

\varphi _{n}=F_{l_{n+1}}^{-1}\circ F_{l_{n}},\qquad (**)

ahol

F_{l}:[-l/2,l/2]\to \mathbb {R} ,\quad F_{l}(x)=l\tan {\frac {\pi x}{l} }.\qquad(***)

Egy egyszerű számítás ezután megmutatja, hogy a derivált bármely pontban legfeljebb -kal tér el 1-től , tehát a (*) feltétel elegendő a második szükséges D2 feltétel teljesítéséhez. Másrészt ugyanilyen könnyen belátható, hogy a D1 feltétel is teljesül (erre a (***) képlet érintőjét megszoroztuk l-lel: akkor a végtelenbe való szökés sebessége a végeken , és nem függ az l intervallum hosszától – ezért a kompozíciós partikuláris az azonosságleképezésre vonatkozik). $\varphi_n$ $\mathrm {const} \cdot |1-{\frac {l_{n}}{l_{n+1}}}|$ $1/x$

A konvergens összegű (*) -t kielégítő szekvencia kiválasztása - például - befejezi a konstrukciót. ${\displaystyle l_{n))$ $l_{n}=1/(1+n^{2}),$

Példa az osztályban $C^{1+\epsilon }$

Egy osztály példáját a fentebb már leírt konstrukció mutatja be, de finomabb feltételekkel a hosszokra vonatkozóan . Ugyanis, amint az könnyen belátható, a megszerkesztett diffeomorfizmusnak akkor és csak akkor lesz Hölder-származéka, ha az összes megszorítás deriváltja egységesen Hölder-féle. Valójában a különböző szegmensek pontjainak deriváltjainak összehasonlításával ezt a különbséget feloszthatjuk a közbenső végpontok deriváltjaival (mivel a végpont deriváltja mindig 1), és használhatja a háromszög egyenlőtlenséget (legrosszabb esetben a Hölder-állandó megduplázásával). . $C^{1+\varepsilon }$ ${\displaystyle l_{n))$ $\varphi_n$ $n$

Mivel a szakaszon van egy pont deriválttal (a Lagrange-tétel szerint), és van olyan pont, ahol a derivált egyenlő 1-gyel (ez a végpont), a Hölder-kitevő Hölder-állandója nem lehet kisebb, mint $Ban ben}$ ${\displaystyle l_{n+1}/l_{n))$ $\varepsilon$

(|1-{\frac {l_{n+1}}{l_{n}}})/l_{n}^{\varepsilon }={\frac {|l_{n+1}-l_ {n}|}{l_{n}^{1+\varepszilon }}}.\qquad (L)

Ezért az (L) kifejezést a -ra kell korlátozni . Mint kiderült, ez a korlátossági feltétel elegendő: egy explicit számítás azt mutatja, hogy a kényszer pontos Hölder-állandója legfeljebb egy állandó tényezővel tér el az alsó becsléstől (L). A konstrukció befejezéséhez egy kétoldalú végtelen sorozatot kell bemutatni konvergens összeggel, amelyre az (L) kifejezés korlátos marad. Egy ilyen sorozatra példa az $n\to \pm \infty$ $\varphi_n$ ${\displaystyle l_{n))$

l_{n}={\frac {1}{m\ln ^{2}m)),\quad m=2+|n|,

mindenki számára alkalmas egyszerre . $\varepszilon<1$

Egy ilyen sorozat bemutatása teszi teljessé a konstrukciót - a megszerkesztett difeomorfizmus a tetszőleges osztályba tartozik . $C^{1+\varepsilon }$ $\varepsilon <1$

Lásd még

Linkek

J. Milnor jegyzetei Bevezető dinamikai előadások , "Denjoy-tétel" előadás (lásd §15B).

Irodalom

A.B. Katok, B. Hasselblat. Bevezetés a dinamikus rendszerek elméletébe a legújabb eredmények áttekintésével / Per. angolról. szerk. A.S. Gorodetsky. M.: MTSNMO, 2005. ISBN 5-94057-063-1
M. Herman, Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations. Publikációk Mathématiques de l'IHÉS, 49 (1979), p. 5-233.