Minimalitás (dinamikus rendszerek)

A dinamikus rendszerek elméletében egy dinamikus rendszert nevezünk minimálisnak , ha nincsenek nem triviális ( zárt ) alrendszerei.

Definíciók

A dinamikus rendszert minimálisnak nevezzük, ha bármilyen zárt ${\megjelenítési stílus (X, T)}$

A\subset X,\quad T(A)=A

üres, vagy megfelel az összesnek . $A$ $x$

Mivel bármely pálya lezárása invariáns halmaz, a definíció ekvivalens módon újrafogalmazható a következőképpen: egy dinamikus rendszer minimális, ha bármely pályája mindenhol sűrű .

Ezenkívül a rendszer fázisterének egy invariáns részhalmazát minimális halmaznak nevezzük , ha a rendszer erre vonatkozó korlátozása minimális. $Y\subset X,\,Y\neq \emptyset$ ${\megjelenítési stílus (X, T)}$ ${\megjelenítési stílus (Y,T|_{Y})}$

Tulajdonságok

A minimálrendszer vagy egyetlen pályából áll, vagy nincs sem fix pontja, sem periodikus pályája.
A kör minimális diffeomorfizmusa ergodikus (Katka-Ehrman tétel).

Példák

Az irracionális csavar minimális.
Egy konstans vektorral való eltolás a tóruszon akkor és csak akkor minimális, ha az eltolási vektor és az egység koordinátái lineárisan függetlenek a felett . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n))$ $\mathbb {Q}$
A kördiffeomorfizmus akkor és csak akkor minimális, ha irracionális forgással van konjugálva.
Létezik a kétdimenziós tórusz Lebesgue-féle mértékmegőrző diffeomorfizmusa, amely minimális, de nem ergodikus ( Fürstenberg példája ).

Irodalom

Katok A. B. , Hasselblat B. Bevezetés a dinamikus rendszerek modern elméletébe a legújabb vívmányok áttekintésével / Per. angolról. szerk. A. S. Gorodetsky. - M .: MTSNMO , 2005. - S. 42. - 464 p. — ISBN 5-94057-063-1 .