Limit (matematika)

A határérték a matematikai elemzés egyik alapfogalma, olyan alapvető elemzési szakaszokon alapul, mint a folytonosság , a derivált , az integrál , a végtelen sorozat stb. A sorozatnak és a függvénynek van határa [1] .

A határ fogalmát intuitív szinten már a 17. század második felében használta Newton , valamint a 18. századi matematikusok, például Euler és Lagrange . A sorozat határának első szigorú meghatározását Bolzano adta 1816-ban és Cauchy 1821-ben.

Történelem

A kifejezés indoklása

A határérték felvételének műveletét a matematikai elemzésben a határértékhez való átlépésnek nevezzük [2] . A határig való áthaladás intuitív koncepcióját az ókori Görögország tudósai használták a különféle geometriai formák területeinek és térfogatainak kiszámításakor. Az ilyen problémák megoldására szolgáló módszereket főként Arkhimédész fejlesztette ki .

A 17. századi matematikusok (és mindenekelőtt Newton ) a differenciál- és integrálszámítás megalkotásakor kifejezetten vagy implicit módon a határokig való áthaladás fogalmát is használták. A határ fogalmának meghatározását először Wallis "Végtelen értékek aritmetikája" című művében vezették be (XVII. század), de történetileg ez a fogalom nem képezte a differenciál- és integrálszámítás alapját.

Csak a 19. században, Cauchy munkáiban használták a határok elméletét a matematikai elemzés szigorú igazolására. A határok elméletének továbbfejlesztését Weierstrass és Bolzano végezte .

A 19. század első felében a korlátok elméletének segítségével igazolták különösen a végtelen sorozatok használatát az elemzésben, amelyek kényelmes apparátust jelentettek új függvények létrehozására [3] .

Limit szimbólum

Az általánosan elfogadott határszimbólumot Simon Lhuillier (1787) javasolta a következő formátumban: ezt a jelölést Cauchy (1821) támogatta. A lim utáni pont hamar eltűnt [4] . Weierstrass a modernhez közeli határ jelölést vezette be , bár a nálunk megszokott nyíl helyett az egyenlőségjelet használta: [5] . A nyíl a 20. század elején jelent meg egyszerre több matematikusnál [6] . $\lim _{x\to a}f(x)$ $\operatorname {lim.} x:a;$ $\operatorname {Lim} _{x=a}$

Dirichlet (1837) volt az első, aki a faj egyoldalú határának jelölését javasolta az alakban: Moritz Pasch (1887) további fontos fogalmakat vezetett be - a felső és alsó határt , amelyeket a következő formában írt: ill . Külföldön ez a szimbolika szabványossá vált, a hazai szakirodalomban más megnevezések is érvényesülnek: Alfred Pringsheim vezette be 1898-ban [7] . $\lim _{x\to a+0}f(x)$ $f(a+0),f(a-0).$ $\lim \sup$ $\lim \inf$ $\varlimsup _{n\to \infty }x_{n},\ \varliminf _{n\to \infty }x_{n},$

Sorozatkorlát

Egy sorozat határa olyan objektum, amelyhez a sorozat tagjai bizonyos értelemben növekvő sorszámmal hajlanak vagy közelednek.

Egy számot egy sorozat határértékének nevezünk, ha $a$ $x_{1},x_{2},...,x_{n},...$

$\forall {\text{ }}\varepsilon >0{\text{, }}\exists {\text{ }}N(\varepsilon ){\text{, }}\forall {\text{ }} n>N(\varepsilon ){\text{ }}{\text{ }}|x_{n}-a|<\varepsilon$ .

A sorozathatárt jelöli . A jelölés megengedett . ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }x_{n))$ ${\displaystyle \lim x_{n))$

Tulajdonságok:

Ha egy sorozat határértéke létezik, akkor az egyedi.
$\lim c=c$ $,\,c={\rm {const}}.$
$\lim(x_{n}+y_{n})=\lim x_{n}+\lim y_{n}$ (ha mindkét határ létezik)
$\lim(qx_{n})=q\lim x_{n}$ $,\,q={\rm {const}}.$
$\lim(x_{n}y_{n})=\lim x_{n}\lim y_{n}$ (ha mindkét határ létezik)
$\lim(x_{n}/y_{n})=\lim x_{n}/\lim y_{n}$ (ha mindkét határ létezik, és a jobb oldal nevezője nem nulla)
Ha és , akkor (a „befogott sorozat” tétel, más néven „ két rendőr tétel ”) $a_{n}>x_{n}>b_{n}\forall n$ $\lim a_{n}=\lim b_{n}$ $\lim x_{n}=\lim a_{n}=\lim b_{n}$

Funkciókorlát

Egy függvénynek akkor van határa egy ponton , ha minden, kellően közeli érték esetén az érték közel van a -hoz . $f(x)$ $A$ $x_{0}$ $x$ $x_{0}$ $f(x)$ $A$

A b számot a függvény határértékének nevezzük a pontban , ha úgy létezik , hogy . $f(x)$ $a$ $\forall \varepsilon >0$ $\delta>0$ $\forall x,0<|xa|<\delta$ $|f(x)-b|<\varepsilon$

A függvények határértékei hasonló tulajdonságokkal rendelkeznek, mint a sorozatok határértékei, például az összeg határa megegyezik a határértékek összegével, ha minden határ létezik. $\lim _{{x\to x_{0}}}(f(x)+g(x))=\lim _{{x\to x_{0}}}f(x)+\lim _{{ x\–x_{0}}}g(x)$

Egy sorozat határának fogalma a szomszédságok nyelvében

Legyen valamilyen halmaz, amelyen a szomszédság fogalma definiálva van (például metrikus tér ). Legyen ennek a halmaznak a pontjainak (elemeinek) sorozata. Azt mondjuk, hogy ennek a sorozatnak van határa, ha a sorozat szinte minden tagja a pont bármely szomszédságában található , vagy $x$ $U$ $x_{i}\X-ben$ $x\X-ben$ $x$ $\forall {\text{ }}U(x){\text{ }}\exists {\text{ }}n,{\text{ }}\forall {\text{ }}i>n{\ szöveg{ }}{\text{ }}x_{i}\U(x)$

Figyelemre méltó határok

A figyelemre méltó határértékek a szovjet és az orosz számítástechnikai tankönyvekben használt kifejezések , amelyek két jól ismert matematikai azonosságra utalnak határértékkel:

Az első figyelemre méltó határ: $\lim _{{x\to 0}}{\frac {\sin x}{x}}=1.$
Második figyelemre méltó határ: $\lim _{{x\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e.$

Figyelemreméltó határértékeket és azok következményeit használjuk fel a bizonytalanságok feltárásakor, hogy más határokat találjunk.

Ultralimit

Az ultralimit egy olyan konstrukció, amely lehetővé teszi a matematikai objektumok széles osztályának határérték meghatározását. Különösen a metrikus térben lévő számsorozatokhoz és pontsorozatokhoz működik, és lehetővé teszi a metrikus terek sorozataira és a rajtuk lévő függvénysorozatokra vonatkozó általánosításokat. Ezt a konstrukciót gyakran használják annak elkerülésére, hogy egy részsorozatra többször ugorjanak. Ez a konstrukció egy nem fő ultraszűrő létezését használja fel , amelynek bizonyítása viszont a választás axiómáját használja .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Mathematical Encyclopedia, 1984 , p. 556.
↑ Khinchin A. Ya. Nyolc előadás a matematikai elemzésről. - M. - L., Gostekhizdat, 1948. - S. 14
↑ Tsypkin A. G. A matematika kézikönyve. - M .: "Nauka", 1983.
↑ Hairer E., Wanner G. Matematikai elemzés történetének tükrében. - M . : Tudományos világ, 2008. - 396 p. - ISBN 978-5-89176-485-9 . - S. 172.
↑ Yushkevich A.P. A határ fogalmának kidolgozása Weierstrass K. előtt // Történeti és matematikai kutatás . - M . : Nauka , 1986. - 30. sz . - S. 76 .
↑ Alexandrova N. V. Matematikai kifejezések, fogalmak, jelöléstörténet: Szótár-kézikönyv . - 3. kiadás - Szentpétervár. : LKI, 2008. - S. 133 -135. — 248 p. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Cajori F. A matematikai jelölések története. Vol. 1. (1929. reprint), 631-637. - NY: Cosimo, Inc., 2007. - xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7 .

Irodalom

Limit // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben). - M . : Szovjet Enciklopédia , 1984. - T. 4.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy dán Nagy norvég Nagy orosz horvát Britannica (online) Treccani Universalis Universalis
Bibliográfiai katalógusokban	NDL : 00567231