Krylov altér

A lineáris algebrában a dimenzió Krylov altere , amelyet egy vektor és egy mátrix generál , egy lineáris tér $m$ $v\in {\mathbb {C}}^{n}$ $A\in {\mathbb {C}}^{{n\times n}}$

${\mathcal {K}}_{m}(v,A)=\operátornév {span}\{v,Av,A^{2}v,...,A^{{m-1}}v\ }.$

A Krylov-altér a komplex számok mezője feletti vektortér altere : ${\mathcal {K}}_{m}\subset \mathbb {C} ^{n}.$

Az ilyen tereket A. N. Krylov orosz alkalmazott matematikusról és haditengerészeti mérnökről nevezték el , aki 1931-ben publikált egy tanulmányt a problémáról.

A Krilov-altér dimenziója

A tér véges dimenzióssága miatt van olyan, hogy a vektorok lineárisan függetlenek, és van egy lineáris kombinációja ezeknek a vektoroknak együtthatókkal $\mathbb{C}^{n}$ $p\;(0\leq p\leq n),$ $v,\;Av,\;A^{2}v,\;...,\;A^{p-1}v$ $A^{p}v$ $\gamma _{1},\;\gamma _{2},\;...,\;\gamma _{p}:$

$A^{p}v=-\gamma _{1}A^{p-1}v-\gamma _{2}A^{p-2}v-...-\gamma _{p }v$

Összeállítunk egy polinomot , és megkapjuk: $\varphi (\lambda )=\lambda ^{p}+\gamma _{1}\lambda ^{{p-1}}+\gamma _{2}\lambda ^{{p-2}}+.. .+\gamma _{p}$

$\varphi (A)v=0.$

A fokszámú polinom a v vektor minimális polinomja az A mátrixhoz képest . $\varphi (A)$ $p$

A Krylov-altér tulajdonságai

1. invariáns bármely tekintetében és bármely

{\mathcal {K}}_{p}

A

{\mathcal {K}}_{m}={\mathcal {K}}_{p}

m\geq p.

dim({\mathcal {K}}_{m})=\min\{m,p\}.

Krylovsky típusú módszerek

A Krylov-altereket használó algoritmusokat hagyományosan Krylov-típusú módszereknek nevezik. Ezek a numerikus lineáris algebra jelenleg elérhető legsikeresebb módszerei közé tartoznak.

A nagy méretű mátrixokra összpontosító modern iteratív módszerek sajátértékek megtalálására és SLAE megoldási módszerekre, elkerülik a mátrix-mátrix műveleteket, és gyakrabban szorozzák meg a mátrixot vektorokkal, és dolgoznak a kapott vektorokkal:

${\mathcal {K}}_{m}(v,A)=\operátornév {span}\{v_{1},v_{2},v_{3},...,v_{m}\},$

ahol

$v_{1}=v,\;v_{2}=Av_{1},\;v_{3}=Av_{2},\;...,\;v_{m}=Av_{{m-1 }}$ .

A Krylov altér leghíresebb módszerei az Arnoldi -módszer , a Lanczos -módszer , a Konjugált gradiens-módszer , a GMRES , a BiCG , a BiCGSTAB , a QMR , a TFQMR és a MinRES .

Lásd még

Krylov módszere a mátrix karakterisztikus polinomjának megtalálására .
Vetítési módszerek SLAE megoldására
Lanczos biortogonalizáció
Iteratív sablonkönyvtár

Irodalom

Krylov A.N. Anyagi rendszerek kis rezgésének frekvenciáit műszaki kérdésekben meghatározó egyenlet numerikus megoldásáról. . - 1931. - S. 26 .
Saad Y. Iteratív módszerek ritka lineáris rendszerekre . — 2. kiadás. - SIAM Society for Industrial & Applied Mathematics, 2003. - 477. o . — ISBN 0898715342 .
Gantmakher F.R. Mátrixelmélet . — 2. kiadás. - M .: Nauka, 1966. - S. 576. - ISBN 5-9221-0524-8 .
Balandin M. Yu., Shurina EP Módszerek a nagydimenziós SLAE megoldására. - Novoszibirszk: NSTU, 2000. - S. 70.