Stabilizált bikonjugátum gradiens módszer

A bikonjugált gradiens stabilizált módszer (BiCGStab ) egy iteratív módszer a Krylov-típusú SLAE megoldására . Van der Worst (angol) fejlesztette ki a nem szimmetrikus mátrixokkal rendelkező rendszerek megoldására . Gyorsabban konvergál, mint a hagyományos bikonjugált gradiens módszer , amely instabil [1] , ezért gyakrabban használt [2] .

Jelölés

Az összetett SLAE-k esetében a módszer kétféle skaláris szorzatot használ , valós mátrixok és a jobb oldali mátrixok esetén ezek egybeesnek.

$(u, v) = \sum_{i=1}^n \overline{u}_i v_i$
$[u, v] = \sum_{i=1}^n u_i v_i$

Módszer algoritmus

A formátumú SLAE megoldására , ahol egy komplex mátrix, a következő [1] [3] algoritmus használható a bikonjugált gradiensek stabilizált módszerével : $ax = b$ $A$

Felkészülés az iteratív folyamat előtt

Kezdő közelítést választunk $x^0$
$r^0 = b - Ax^0$
$\tilde{r} = r^0$
$\rho^0 = \alpha^0 = \omega^0 = 1$
$v^0 = p^0 = 0$

k

-adik módszer iterációja

$\rho^k = (\tilde{r}, r^{k-1})$
$\beta^k = \frac{\rho^{k}}{\rho^{k-1}} \frac{\alpha^{k-1}}{\omega^{k-1}}$
$p^{k}=r^{k-1}+\beta ^{k}(p^{k-1}-\omega ^{k-1}v^{k-1})$
$v^k = Ap^k$
$\alpha^k = \frac{\rho^k}{(\tilde{r}, v^k)}$
${\displaystyle s^{k}=r^{k-1}-\alpha ^{k}v^{k))$
$t^k = A s^k$
$\omega^k = \frac{[t^k, s^k]} {[t^k, t^k]}$
$x^k = x^{k-1} + \omega^ks^k + \alpha^kp^k$
$r^k = s^k - \omega^kt^k$

Az iteratív folyamat leállításának kritériuma

A hagyományos leállítási feltételek mellett, mint például az iterációk száma ( ) és a megadott maradék ( ), a metódus akkor is leállítható, ha az érték kisebb, mint egy előre meghatározott szám . $k \le k_{max}$ $\||r^k|| /||b|| < \varepsilon$ $|\omega^k|$ $\varepsilon_{\omega}$

Lásd még

Konjugált gradiens módszer

Jegyzetek

↑ 1 2 Henk A. van der Vorst. Iteratív Krylov-módszerek nagy lineáris rendszerekhez. - Cambridge University Press, 2003. - 221 p. — ISBN 9780521818285 .
↑ T. Huttunen, M. Malinen, P. Monk. Maxwell - egyenletek megoldása ultragyenge variációs formulával . – 2006.
↑ A. Formmer , V. Hannemann , B. Nokel , Th. Lippert , K. Schilling. A Wilson Fermion mátrix invázió felgyorsítása a Stibilizált Bikonjugátum Cgadiens Agoritmus segítségével . – 1994.

Az SLAE megoldásának módszerei
Közvetlen módszerek	Mátrix módszer Gauss módszer Gauss-Jordan módszer Cramer módszer LU bomlás Cholesky-bomlás Sweep módszer
Iteratív módszerek	Jacobi módszer Gauss-Seidel módszer Iterációs módszer Relaxációs módszer Konjugált gradiens módszer Bikonjugált gradiens módszer Stabilizált bikonjugátum gradiens módszer
Tábornok	inverz mátrix Vetítési módszerek SLAE megoldására Előkondicionálás