Szinguláris pont (differenciálegyenletek)
A matematikában a vektormező szinguláris pontja az a pont, ahol a vektormező egyenlő nullával. A vektormező szinguláris pontja a dinamikai rendszer adott vektormező által meghatározott egyensúlyi helyzete vagy nyugalmi pontja: a szinguláris pontban induló fázispálya pontosan ebből a szinguláris pontból áll, és a neki megfelelő integrálgörbe egy az időtengellyel párhuzamos egyenes.
A fázistér bármely kis, szinguláris pontokat nem tartalmazó környezetében a vektormező megfelelő koordinátaváltással kiegyenesíthető - így a rendszer viselkedése a szinguláris pontokon kívül is ugyanolyan és nagyon egyszerű. Éppen ellenkezőleg, egy szinguláris pont közelében a rendszernek nagyon összetett dinamikája lehet. A vektormezők szinguláris pontjainak tulajdonságairól általában a megfelelő rendszer tulajdonságait értjük a szinguláris pont egy kis szomszédságában.
Vektormezők szinguláris pontjai a síkon
A szinguláris pontok legegyszerűbb példái a síkban lévő lineáris vektormezők szinguláris pontjai. A síkon lévő vektormező fogalmához a következő alakú lineáris differenciálegyenlet-rendszer társítható:
,
ahol egy pont a síkon, az a mátrix . Nyilvánvalóan a pont egy nem szinguláris mátrix esetében az egyetlen szinguláris pont egy ilyen egyenletben.
A mátrix sajátértékeitől függően a lineáris rendszerek négyféle nem degenerált szinguláris pontja létezik: csomópont, nyereg, fókusz, középpont.
| Sajátérték típus | Sajátértékek a komplex síkban |
Szinguláris ponttípus | A fázispályák típusa | A fázispályák típusa |
|---|---|---|---|---|
| Pusztán képzeletbeli | Központ | körök , ellipszisek | ||
| Komplex negatív valós résszel | fenntartható fókusz | Logaritmikus spirálok | ||
| Komplex pozitív valós résszel | Instabil fókusz | Logaritmikus spirálok | ||
| Igazi negatív | Stabil csomó | parabolák | ||
| Igazán pozitív | Instabil csomó | parabolák | ||
| Érvényes különböző jelek | Nyereg | túlzás |