Általános potenciál

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2017. április 1-jén áttekintett verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Általánosított potenciál - a klasszikus mechanika fogalma , amelyet az általánosított sebességektől függő általános erők kényelmes kiszámítására használnak [1] .

Megfogalmazás

Tekintsünk egy mechanikai rendszert szabadságfokkal, mozgási energiával és általánosított erőkkel . Itt mindenhol . Tekintsük a potenciális energia kifejezését függvény formájában . Megköveteljük, hogy a Lagrange-egyenletek $s$ $T$ ${\displaystyle Q_{m))$ $m=1,2,...,s$ $V=V(q_{1},q_{2},...,q_{s},{\pont {q}}_{1},{\pont {q}}_{2}, ...,{\pont {q}}_{s},t)$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial T}{\részleges q_{m}}}=Q_{m}$ ,

nézett ki, mint

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{m))}=0$ , ahol , az általánosított potenciál. $L=TV$ $V$

Az általánosított potenciál olyan függvény , amely kielégíti az egyenletet $V$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial V}{\partial q_{m}}}=Q_{m}$ ,

Határozzuk meg a függvény függését az általánosított sebességektől. $V$

$Q_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{ \frac {\partial V}{\partial q_{m))}=\sum _{\mu =1}^{s}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial {\pont {q }}_{m}\partial {\dot {q}}_{\mu }}}{\ddot {q}}_{\mu }+\sum _{\mu =1}^{s}{\ frac {\partial ^{2}V}{\partial {\dot {q}}_{m}\partial q_{\mu }}}{\dot {q}}_{\mu }+{\frac { \partial ^{2}V}{\partial {\dot {q}}_{m}\partial t}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{m}}}$

Mivel az általánosított erők nem függnek kifejezetten az általánosított gyorsulásoktól, az általánosított potenciál csak lineáris függvénye lehet az általánosított sebességeknek:

${\displaystyle V=\Pi (q_{m},t)+\sum _{\mu =1}^{s}\Pi _{\mu }(q_{m},t){\pont {q} }_{\mu ))$

További:

$Q_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{ \frac {\partial V}{\partial q_{m))}={\frac {d\Pi _{m)){dt))-{\frac {\partial }{\partial q_{m))} \left[\sum _{\mu =1}^{s}\Pi _{\mu }{\pont {q))_{\mu }+\Pi \right]=\sum _{\mu =1 }^{s}{\frac {\partial \Pi _{m}}{\partial q_{\mu }}}{\dot {q}}_{\mu }+{\frac {\partial \Pi _ {m)){\partial t))-\sum _{\mu =1}^{s}{\frac {\partial \Pi _{\mu )){\partial q_{m))}{\pont {q))_{\mu }-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m))}=-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m))}+\ összeg _{\mu =1}^{s}\left({\frac {\partial \Pi _{m)){\partial q_{\mu ))}-{\frac {\partial \Pi _{\ mu )){\partial q_{m))}\right)+{\frac {\partial \Pi _{m)){\partial t))$ .

Ilyen módon:

$Q_{m}=-{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m))}+\sum _{\mu =1}^{s}\gamma _{m\mu }{ \pont {q}}_{\mu }+{\frac {\partial \Pi _{m}}{\partial t}}$ , ahol ${\displaystyle \gamma _{m\mu }={\frac {\partial \Pi _{m)){\partial q_{\mu ))}-{\frac {\partial \Pi _{\mu )) {\részleges q_{p))))$

Ha a függvények nem függnek kifejezetten az időtől, akkor az általánosított erőket potenciális erők és giroszkópikus erők alkotják . [2] ${\displaystyle \Pi _{m))$ ${\displaystyle -{\frac {\partial \Pi }{\partial q_{m))))$ $\sum _{\mu =1}^{s}\gamma _{m\mu }{\pont {q}}_{\mu }$

Példa

Tekintsük az elektromágneses térben pontszerű elektromos töltésre ható Lorentz-erőt : , ahol az elektromos töltés, a töltési sebesség, az elektromos térerősség, a mágneses tér indukciója, a fény sebessége. A Lorentz-erő általánosított potenciálja bevezethető a következő képlettel: , ahol a skaláris potenciál , a vektorpotenciál [3] [4] $F=e\left[E+{\frac {v}{c}}\times B\right]$ $e$ $v$ $E$ $B$ $c$ $V=e\phi -{\frac {e}{c}}vA=e\phi -{\frac {e}{c}}\left({\pont {x}}A_{x}+ {\pont {y}}A_{y}+{\pont {z}}A_{z}\jobbra)$ $\phi$ $A$

Jegyzetek

↑ Butenin, 1971 , p. 115.
↑ Butenin, 1971 , p. 117.
↑ Butenin, 1971 , p. 118.
↑ L. D. Landau E. M. Livshits Field theory, Fizmatgiz, 1962

Irodalom

Butenin N.V. Bevezetés az analitikai mechanikába. - M. : Nauka, 1971. - 264 p.