Normalizálás (algebra)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 20-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A normalizálás egy mező vagy egy integrálgyűrű elemeinek leképezése valamilyen rendezett mezőbe , amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik: $F$ $P$ $x\mapsto\|x\|$

1) és csak akkor, ha

\|x\|\geqslant 0

\|x\|=0

x=0

\|xy\|=\|x\|\cdot \|y\|

\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|

Ha a 3) helyett erősebb feltétel teljesül:

3a) , akkor az értékelést nem archimédeszinek nevezzük .

\|x+y\|\leqslant \max(\|x\|,\|y\|)

Az értéket az elem normájának nevezzük . Ha a rendezett mező a valós számok mezője , akkor az értékelést gyakran abszolút értéknek nevezik. $\|x\|$ $x$ $P$ $\mathbb {R}$

Normák és akkor ekvivalensnek mondják , ha egyenértékű a -val . ${\displaystyle \|\cdot \|_{1))$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2))$ $\|x\|_{1}<1$ $\|x\|_{2}<1$

Példák normalizálásra

Normalizálás , amely alatt a többi . Az ilyen normalizálást triviálisnak nevezzük. $\|0\|=0$ $\|x\|=1$ $x$
A valós számok mezőjében a szokásos abszolút érték , a komplex számok területén a modulus pedig normalizálás. $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$
Legyen a racionális számok mezője, és legyen valamilyen prímszám . Bármely racionális szám ábrázolható törtként , ahol és nem többszörösek . A következő normalizálás definiálható . Ez az értékelés nem archimédeszi, és p-adic értékelésnek nevezik . $\mathbb {Q}$ $p$ $x=p^{n}{\frac {a}{b}}$ $a$ $b$ $p$ $|x|_{p}=p^{{-n}}$

tétele szerint bármely nem triviális norma egyenértékű vagy az abszolút értékkel , vagy a p-adikus értékkel. $\mathbb {Q}$ $|x|$

Norm Properties

$|1|=|-\!1|=1$
A valós értékű normalizáláshoz a tulajdonság teljesül (itt feltételezzük, hogy a szokásos norma a valós számok mezőjére van beállítva - a szám modulusa ) ${\Bigl |}|x|-|y|{\Bigr |}\leqslant |xy|$
A valós értékű értékelés akkor és csak akkor nem archimédeszi, ha létezik olyan pozitív szám , amely a mező azonosságelemeinek tetszőleges összegére : $A$ $F$

3b)

\|1+1+...+1\|\leqslant A

Ez a feltétel teljesüljön. Ezután bármilyen elemre és a mezőre vonatkozóan a következőket kínáljuk: $x$ $y$ $F$

$|(x+y)^{n}|=|x^{n}+\ldots +C_{n}^{i}\,x^{{ni}}\,y^{i}+\ldots + y^{n}|\leqslant (n+1)A[\max(|x|,|y|)]^{n}$

Mindkét részből kivetve a gyökeret és átlépve a határértékre , megkapjuk a 3a) feltételt. $n\to\infty$ Ennek ellenkezője nyilvánvaló.

A normált mező metrikus térként

Az 1-3. tulajdonságokból azonnal következik, hogy egy valós értékű normamező két eleme közötti távolságot a különbség normájaként definiálva metrikus térré alakítjuk , nem archimédészi norma esetén pedig ultrametrikus tér . A különböző normák különböző mérőszámokat határoznak meg. Az egyenértékű normák ugyanazt a topológiát határozzák meg a -ban . $F$ $\|xy\|$ $F$

Feltöltés

Mint minden metrikus tér esetében, bevezethetjük a teljesség fogalmát, és bebizonyíthatjuk , hogy bármely értékes mező izomorfan beágyazódik egy teljes értékű mezőbe , azaz létezik izomorfizmus . A -ben lévő norma folytatja a normát a -ban , azaz a : mindegyikére , és ehhez a normához képest sűrű . Minden ilyen mező egyedileg meghatározott egy olyan izomorfizmusig, amely megőrzi a normákat ( izometria ), és azonos azzal ; ezt nevezik mezőkitöltésnek . $F$ $F^{*}$ $i:F\rightarrow F^{*}$ $F^{*}$ $F$ $x$ $F$ $\|i(x)\|_{F^{*}}=\|x\|$ $F$ $F^{*}$ $F^{*}$ $F$ $F$

Példa. A racionális számok mezőjének kiegészítése p-adikus metrikával a p-adikus számok mezője . ${\mathbb {Q}}$ ${\mathbb {Q}}_{p}$

Exponenciális normalizálás

Legyen egy multiplikatív mezőcsoport leképezése valamilyen jól rendezett Abel-csoportra , például $v$ $K^{*}$

egy)

v(xy)=v(x)+v(y)

v(x+y)\geqslant \min(v(x),v(y))

Ezt a függvényt is célszerű nullánál újradefiniálni: . A csoport műveletét a következőképpen definiáljuk: bármely , úgy van rendezve, hogy nagyobb legyen, mint az eredeti csoport összes eleme. Ebben az esetben az 1) és 2) tulajdonság igaz marad. $v(0)=\infty$ $\infty$ $a+\infty =\infty +a=\infty$ $a$ $\infty$

Bourbaki terminológiájában az ilyen tulajdonságokkal rendelkező függvényt értékelésnek nevezik . A „normalizálás” kifejezést egy ilyen függvényre Atiyah és McDonald [1] és Leng is használja. [2] Egyes szerzők azonban meghagyják a "normalizálás" kifejezést egy olyan függvénynél, amely a cikk elején felsorolt tulajdonságokkal rendelkezik, és a Bourbaki-értékelést exponenciális értékelésnek nevezik . A leképezés értéktartományát értékelési csoportnak nevezzük , és a mező azon elemeinek halmazát, amelyeknek az értékelési gyűrűje (jelölés - ), könnyen ellenőrizhető, hogy valóban gyűrűről van-e szó. $v$ $x$ $K$ $v(x)\geqslant 0$ $R_{v}$

A diszkrét normalizálás egy exponenciális normalizálás, amely az egész számok additív csoportjára való leképezés. Ebben az esetben az értékelési gyűrűt diszkrét értékelési gyűrűnek nevezzük .

Jegyzetek

↑ Atiyah M., McDonald I. Bevezetés a kommutatív algebrába, p. 115.
↑ Leng S. Algebra, p. 337.

Irodalom

Atiyah M., McDonald I. Bevezetés a kommutatív algebrába. - M .: Mir, 1972.
Van der Waerden B. L. Algebra. - M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Kommutatív algebra. - M. : IL, 1963. - T. 2.
Leng S. Algebra. - M .: Mir, 1967.