Kruskal-Wallis kritérium

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. szeptember 27-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A Kruskal-Wallis tesztet több minta mediánjainak egyenlőségének tesztelésére tervezték . Ez a teszt a Wilcoxon-Mann-Whitney teszt többváltozós általánosítása . A Kruskal-Wallis ismérv egy rangú , tehát invariáns a mérési skála bármely monoton transzformációjához képest.

Más néven: Kruskal-Wallis H-teszt, Kruskal -Wallis egyirányú varianciaanalízis , Kruskal - Wallis teszt . Nevét William Kruskal és Allen Wallis amerikai matematikusokról kapta .

Problémapéldák

A világbajnokság folyamatban van. Az első minta egy szurkolók körében végzett felmérés a következő kérdéssel: „Mekkora az esélye annak, hogy az ukrán csapat nyer?” a bajnokság kezdete előtt. A második minta az első, a harmadik a második meccs utáni, stb. A mintákban szereplő értékek Ukrajna győzelmi esélyeit mutatják egy tízes skálán (1 — „nincs kilátás”, 10 — „A kupát Ukrajnába vinni idő kérdése”). Ellenőrizni kell, hogy a szavazás eredménye függ-e a bajnokság menetétől.

Kritérium leírása

A mintákat adják: $k$

x_{1}^{n_{1}}=\{x_{11},\;\ldots ,\;x_{1n_{1}}\},\;\ldots ,\;x_{k} ^{n_{k}}=\{x_{k1},\;\ldots ,\;x_{kn_{k}}\}

A kombinált kiválasztás így fog kinézni:

x=x_{1}^{n_{1}}\cup x_{2}^{n_{2}}\cup \ldots \cup x_{k}^{n_{k)).

További találgatások:

minden minta egyszerű, az egyesített minta független;
a minták ismeretlen folytonos eloszlásokból származnak . $F_{1}(x),\;\ldots ,\;F_{k}(x)$

A nullhipotézist az alternatívával teszteljük . $H_{0}\colon F_{1}(x)=\ldots =F_{k}(x)$ $H_{1}\colon F_{1}(x)=F_{2}(x-\Delta _{1})=\ldots =F_{k}(x-\Delta _{k-1} )$

Rendezzük a minták összes elemét növekvő sorrendbe, és jelöljük a -edik minta -edik elemének rangját a kapott variációs sorozatban . ${\displaystyle N=\sum _{i=1}^{k}n_{i))$ $R_{ij}$ $j$ $én$

A Kruskal-Wallis teszt statisztikája a két összehasonlított minta helyzetparamétereinek eltolódásának hipotézisének tesztelésére a következőképpen alakul:

H=\sum _{i=1}^{k}\left(1-{\frac {n_{i}}{N}}\right)\left\({\frac {{\bar { R}}_{i}-{\dfrac {N+1}{2}}}{\sqrt {\dfrac {(N-n_{i})(N+1)}{12n_{i}}}} }\right\}^{2}={\frac {12}{N(N+1)}}\sum _{i=1}^{k}n_{i}\left({\bar {R} }_{i}-{\frac {N+1}{2}}\jobbra)^{2}=

={\frac {12}{N(N+1)}}\sum _{i=1}^{k}{\frac {R_{i}^{2}}{n_{i}} }-3(N+1)

ahol

R_{i}=\sum _{j=1}^{n_{i}}R_{ij}

;

{\bar {R}}_{i}={\frac {1}{n_{i}}}R_{i}

Az eltolódási hipotézist a szignifikancia szinten elvetjük, ha ahol a kritikus érték, és a táblázatokból számítjuk. Nagyobb értékek esetén különféle közelítések alkalmazhatók. $\alpha$ $H\geqslant H_{\alpha }$ ${\displaystyle H_{\alpha ))$ $k\leqslant 5$ $n_{i}\leqslant 8$

A Kruskal-Wallis közelítés

Hadd

M={\frac {N^{3}-\displaystyle {\sum _{i=1}^{k}n_{i}^{3}}}{N(N+1)))

;

\nu _{1}=(k-1){\frac {(k-1)(M-k+1)-V}{{\dfrac {1}{2}}MV}}

;

\nu _{2}={\frac {M-k+1}{k-1}}\nu _{1}

;

{\displaystyle V=2(k-1)-{\frac {2\left\{3k^{2}-6k+N(2k^{2}-6k+1)\right\}}{5N(N +1)))-{\frac {6}{5}}\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{n_{i))))

Ekkor eltolódás hiányában a statisztika -eloszlású és szabadságfokkal . Így a nullhipotézist a szignifikancia szinten elvetjük, ha . $F={\frac {H(M-k+1)}{(k-1)(MH)))$ $F$ $\nu _{1}$ $\nu _{2}$ $\alpha$ $F>F_{\alpha }(\nu _{1},\;\nu _{2})$

Iman-Davenport közelítés

Eszerint a nulleltolódási hipotézist biztosan elvetjük, ha , ahol ; , és a Fisher és a khi-négyzet statisztika kritikus értékei a megfelelő szabadságfokkal. $\alpha$ ${\displaystyle J\geqslant J_{\alpha ))$ $J={\frac {H}{2}}\left(1+{\frac {Nk}{N-1-H}}\right)$ $J_{\alpha }=\left\{(k-1)F_{\alpha }(k-1;\;Nk)+\chi _{\alpha }^{2}(k-1)\ jobb\}$ $F_{\alpha }(f_{1};\;f_{2})$ $\chi _{\alpha }^{2}(a)$

Ez jobb közelítés, mint a Kruskal-Wallis közelítés. Kapcsolódó rangsorok jelenlétében (vagyis amikor a különböző mintákból származó értékek értékei egybeesnek, és ugyanazokat az átlagos rangokat rendelik hozzájuk) a módosított statisztikákat kell használni , ahol ; az azonos elemekből álló csoport mérete ; az azonos elemekből álló csoportok száma. A statisztika eloszlásának közelítése érvényes ; -szabadsági fokos eloszlás, vagyis a nullhipotézist elvetjük, ha . $H^{*}=H\left\{1-\left(\sum _{j=1}^{q}{\frac {T_{j}}{N^{3}-N}} \jobbra)\jobbra\}^{-1}$ ${\displaystyle T_{j}=t_{j}^{3}-t_{j))$ $t_{j}$ $j$ $q$ $n_{i}\geqslant 20$ $H$ $\chi ^{2}$ $f=k-1$ $H\geqslant \chi _{\alpha }^{2}(k-1)$

Lásd még

Cochran kritériuma

Irodalom

Kruskal WH, Wallis WA Rangsorok használata az egykritériumos varianciaanalízisben. // Az Amerikai Statisztikai Szövetség folyóirata . - 1952, 47 No. 260. - pp. 583-621.
Likesh I., Lyaga J. Matematikai statisztika alaptáblázatai. - M .: Pénzügy és statisztika, 1985.
Kobzar AI alkalmazott matematikai statisztika. - M.: Fizmatlit , 2006. - 466-468 p.

Linkek