Egybevágó szám

Az egybevágó szám egy olyan természetes szám , amely egyenlő egy olyan derékszögű háromszög területével , amelynek oldalai racionális számokkal vannak kifejezve [1] . Egy általánosabb definíció tartalmazza az összes pozitív racionális számot ezzel a tulajdonsággal [2] .

Az egybevágó számok sorozatot alkotnak

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52… (sorozat) A003273 az OEIS -ben )

Egybevágó számtáblázat: n ≤ 120 [3]
—: nem egybevágó szám K: négyzet nélküli Egybevágó szám Q: egybevágó szám négyzettényezővel
n	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc
	—	—	—	—	K	K	K	—
n	9	tíz	tizenegy	12	13	tizennégy	tizenöt	16
	—	—	—	—	K	K	K	—
n	17	tizennyolc	19	húsz	21	22	23	24
	—	—	—	K	K	K	K	K
n	25	26	27	28	29	harminc	31	32
	—	—	—	K	K	K	K	—
n	33	34	35	36	37	38	39	40
	—	K	—	—	K	K	K	—
n	41	42	43	44	45	46	47	48
	K	—	—	—	K	K	K	—
n	49	ötven	51	52	53	54	55	56
	—	—	—	K	K	K	K	K
n	57	58	59	60	61	62	63	64
	—	—	—	K	K	K	K	—
n	65	66	67	68	69	70	71	72
	K	—	—	—	K	K	K	—
n	73	74	75	76	77	78	79	80
	—	—	—	—	K	K	K	K
n	81	82	83	84	85	86	87	88
	—	—	—	K	K	K	K	K
n	89	90	91	92	93	94	95	96
	—	—	—	K	K	K	K	K
n	97	98	99	100	101	102	103	104
	—	—	—	—	K	K	K	—
n	105	106	107	108	109	110	111	112
	—	—	—	—	K	K	K	K
n	113	114	115	116	117	118	119	120
	—	—	—	K	K	K	K	K

Például az 5 egy egybevágó szám, mert egy 20/3, 3/2 és 41/6 oldalú háromszög területe. Ugyanígy a 6-os szám egybevágó, mert egy 3, 4 és 5 oldalú háromszög területe. A 3 nem egybevágó.

Ha q egybevágó szám, akkor s 2 q is kongruens valamilyen s számra (csak szorozzuk meg a háromszög mindkét oldalát s -vel ), ennek a fordítottja is igaz. Ez arra a megfigyelésre vezet, hogy az, hogy egy nullától eltérő q racionális szám kongruens szám-e, csak a csoportban lévő kosetétől függ.

{\mathbb {Q}}^{{*}}/{\mathbb {Q}}^{{*2}}

Ebben a csoportban bármely koset pontosan egy négyzet nélküli számot tartalmaz , tehát ha egybevágó számokról beszélünk, akkor csak négyzet nélküli pozitív egészeket értünk.

Az egybevágó számprobléma

A derékszögű háromszög területét a lábak tekintetében a következőképpen fejezzük ki:

S=ab/2

A téglalap alakú háromszög követelményét a következőképpen fejezzük ki:

a^{2}+b^{2}=c^{2}

ahol a , b a háromszög szárai, c a befogója . Az S természetes szám kongruens-e meghatározásának problémája ennek az egyenletrendszernek a racionális megoldását jelenti.

Egy adott egész szám kongruens-e meghatározásának problémáját kongruens számproblémának nevezzük . A feladat (2012-ig) még nincs megoldva. Az alagúttétel egy egyszerű tesztet ad annak meghatározására, hogy egy szám kongruens-e, de ez az eredmény a Birch-Swinnerton-Dyer sejtésen alapul , amely nem bizonyított.

A Pierre Fermat -ról elnevezett Fermat derékszögű háromszög-tétel kimondja, hogy egyetlen négyzetszám sem lehet egybevágó. Azonban egy olyan kijelentés formájában, miszerint a négyzetek aritmetikai sorozatának egymást követő tagjai között bármilyen különbség (lépés) nem tökéletes négyzet, ezt a tényt már Fibonacci tudta (bizonyíték nélkül) [4] . Minden ilyen haladási lépés egybevágó szám, és minden egybevágó szám a progressziós lépés és egy racionális szám négyzetének szorzata [5] . Annak meghatározása azonban, hogy egy szám a négyzetek progressziójának lépése-e, sokkal egyszerűbb feladat, mivel létezik egy paraméteres képlet, amelyben csak véges számú paraméterértéket kell ellenőrizni [6] .

Csatlakozás elliptikus görbékkel

Az a kérdés, hogy egy adott szám kongruens-e, ekvivalensnek bizonyul azzal a feltétellel, hogy valamely elliptikus görbe pozitív rangú [2] . Az ötlet egy alternatív megközelítését az alábbiakban mutatjuk be (és megtalálható Tunnel munkájának bevezetőjében).

Tegyük fel , hogy a , b és c olyan (nem feltétlenül pozitív vagy racionális) számok, amelyek teljesítik a következő feltételeket:

{\begin{matrix}a^{2}+b^{2}&=&c^{2}\\{\tfrac {1}{2}}ab&=&n.\end{mátrix}}

Legyen x = n ( a + c )/ b és y = 2 n 2 ( a + c )/ b 2 . Kap

y^{2}=x^{3}-n^{2}x

és y nem egyenlő 0-val (ha y = 0, akkor a = - c , tehát b = 0, de (1/2) ab = n nem egyenlő nullával, ez ellentmondás).

Fordítva, ha x és y olyan számok, amelyek kielégítik a fenti egyenleteket, és y nem egyenlő 0-val, akkor a = ( x 2 - n 2 )/ y , b = 2 nx / y és c = ( x 2 + n 2 ) / y . A számítások azt mutatják, hogy ez a három szám kielégíti a fenti két egyenletet.

Az ( a , b , c ) és ( x , y ) közötti megfeleltetés megfordítható, így ennek a két egyenletnek a , b és c megoldása, valamint az x és az x egyenletek megoldásai között egy az egyhez egyezés van. y , ahol y nem nulla. Különösen az a , b és c képletekből következik, hogy racionális n mellett az a , b és c számok akkor és csak akkor racionálisak, ha a megfelelő x és y racionálisak, és fordítva. (Azt is megkapjuk, hogy a , b és c akkor és csak akkor pozitívak, ha x és y pozitív. Az y 2 = x 3 - xn 2 = x ( x 2 - n 2 ) egyenletből vegyük észre, hogy ha x és y pozitív , akkor x 2 - n 2 pozitívnak kell lennie, így a fenti képlet a - hoz pozitív számot ad.)

Így egy n pozitív racionális szám akkor és csak akkor kongruens, ha y 2 = x 3 - n 2 x -nek van egy racionális pontja , ahol y nem egyenlő nullával . Megmutatható ( a Dirichlet-féle prímszámokra vonatkozó tételének elegáns következményeként az aritmetikai progresszióban), hogy ennek az elliptikus görbének csak a torziós pontjainak y értéke 0, ami azt jelenti, hogy a nullától eltérő y -val rendelkező racionális pontok létezése egyenértékű azzal, ha azt mondjuk. hogy az elliptikus görbe pozitív rangú.

Jelenlegi állapot

Számos munka foglalkozik az egybevágó számok osztályozásával.

Például ismert [7] , hogy egy p prímszámra a következő teljesül:

ha p ≡ 3 ( mod 8), akkor p nem kongruens, de 2p igen .
ha p ≡ 5 (mod 8), akkor p kongruens.
ha p ≡ 7 (mod 8), akkor p és 2 p egybevágó.

Az is ismert [8] , hogy az 5-ös, 6-os, 7-es maradékosztályokban (mod 8) és bármely adott k -ban végtelenül sok nullamentes kongruens szám van k prímtényezővel.

Lásd még

Pitagorasz számok

Jegyzetek

↑ Mathworld .
↑ 12 Neal Koblitz . Az elliptikus görbék és a moduláris formák bemutatása . - New York: Springer-Verlag , 1993. - 3. o . - ISBN 0-387-97966-2 .
↑ OEIS szekvencia A003273 _
↑ Øystein Ore. Számelmélet és története. - Courier Dover Corporation, 2012. - S. 202-203 . — ISBN 9780486136431 .
↑ Keith Conrad. A kongruens számprobléma // Harvard College Mathematical Review. - 2008. - 2. évf. , szám. 2 . - S. 58-73 .
↑ David Darling. A matematika egyetemes könyve: Abrakadabrától Zénón paradoxonaiig. - John Wiley & Sons, 2004. - P. 77. - ISBN 9780471667001 .
↑ Paul Monsky. Heegner-pontok és egybevágó számok gúnyolása // Mathematische Zeitschrift. - 1990. - T. 204 , sz. 1 . - S. 45-67 . - doi : 10.1007/BF02570859 .
↑ Ye Tian. Egybevágó számok és Heegner-pontok. - 2012. - arXiv : 1210.8231v1 .

Irodalom

Koblitz N. Bevezetés az elliptikus görbékbe és a moduláris formákba. - M .: Mir, 1988.
Ostrik VV, Tsfasman MA Algebrai geometria és számelmélet: Racionális és elliptikus görbék . — M. : MTsNMO , 2010. — 48 p. - ("Matematikai világítás" könyvtár). — ISBN 5-900916-71-5 .
Stewart, Ian . Diophantine Dreams. Birch-Swinnerton-Dyer hipotézis // A legnagyobb matematikai problémák. - M. : < Alpina non-fiction >, 2016. - 460 p. — ISBN 978-5-91671-507-1 .
Chistyakov II A racionális háromszögekről // Matematikai oktatás . - M. - L .: ONTI , 1934. - Szám . 1 . - S. 10-16 .
Silverberg, Alice. Nyitott kérdések az aritmetikai algebrai geometriában ( PostScript ). - A probléma helyzetének rövid megbeszélése és sok hivatkozás.
Richard Guy . Megoldatlan problémák a számelméletben. — ISBN 0-387-20860-7 . - Sok link.
Leonard Eugene Dickson . A számelmélet története . - T. II. - ISBN 0-8218-1935-6 . — A probléma története.
Ronald Alter. Az egybevágó számprobléma // American Mathematical Monthly. - Mathematical Association of America, 1980. - V. 87 , no. 1 . - S. 43-45 . - doi : 10.2307/2320381 . — .
Chandrasekar V. Az egybevágó számprobléma // Rezonancia. - 1998. - 3. évf. , szám. 8 . - S. 33-45 . - doi : 10.1007/BF02837344 .
Jerrold B. Tunnell. Klasszikus diofantusi probléma és a súly moduláris formái 3/2 // Inventiones Mathematicae . - 1983. - T. 72 , sz. 2 . - S. 323-334 . - doi : 10.1007/BF01389327 .

Linkek

Minden egybevágó szám egy billióig számítva
Egy billió háromszög – a matematikusok megoldották az első egybillió esetet (a Birch és Swinnerton-Dyer sejtés feltétele ).
Weisstein, Eric W. Egybevágó szám (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .