Mutató (matematika)

Az indikátor vagy karakterisztikus függvény , indikátorfüggvény vagy részhalmaz - tagsági függvény egy halmazon definiált függvény , amely jelzi, hogy egy elem egy részhalmazhoz tartozik-e . $A\subseteq X$ $x$ $x\X-ben$ $A$

Mivel a „ karakterisztikai függvény ” kifejezést már a valószínűségszámításban is használják , a „ mutatófüggvény ” kifejezést a valószínűségszámítással összefüggésben használják leggyakrabban, más területekre pedig a „ karakterisztikus függvény ” kifejezést használják gyakrabban.

Az indikátorfüggvény analitikus ábrázolására gyakran használják a Heaviside függvényt .

Definíció

Legyen egy tetszőleges halmaz kiválasztott részhalmaza . A következőképpen definiált függvény: $A\subseteq X$ $x$ ${\mathbf {1}}_{A}:X\to \{0,1\}$

{\mathbf {1}}_{A}(x)=\left\{{\begin{mátrix}1,&x\in A,\\0,&x\notin A,\end{mátrix}}\jobbra.

beállított indikátornak nevezzük . $A$

Alternatív készletjelző jelölések a következők: vagy , és néha még és az Iverson zárójel . $A$ $\chi _{A}$ ${\mathbf {I}}_{A}$ $Fejsze)$ $[x\in A]$

( A görög betű a jellegzetes szó görög írásmódjának kezdőbetűjéből származik .) $\chi$

Figyelmeztetés . A jelölés jelenthet identitásfüggvényt . $\mathbf {1} _{A}$

Alaptulajdonságok

Olyan leképezés, amely egy részhalmazt injektív módon társít az indikátorához . Ha és a két részhalmaza , akkor $A\subseteq X$ $\mathbf {1} _{A}$ $A$ $B$ $X\$

{\mathbf {1}}_{{A\cap B}}=\min\{{\mathbf {1}}_{A},{\mathbf {1}}_{B}\}={\mathbf {1}}_{A}{\mathbf {1}}_{B},

{\mathbf {1}}_{{A\cup B}}=\max\{({\mathbf {1}}_{A},{\mathbf {1}}_{B}}\}={ \mathbf {1}}_{A}+{\mathbf {1}}_{B}-{\mathbf {1}}_{A}{\mathbf {1}}_{B},

{\mathbf {1}}_{{A\triangle B}}={\mathbf {1}}_{A}+{\mathbf {1}}_{B}-2({\mathbf {1}} _{{A\cap B}}),

{\mathbf {1}}_{{A^{c}}}=1-{\mathbf {1}}_{A}.

Általánosabban fogalmazva, tegyük fel, hogy a részhalmazok halmaza . Egyértelmű, hogy bármelyikre $A_{1},\ldots ,A_{n}$ $x$ $x\X-ben$

\prod _{{k\in I}}(1-{\mathbf {1}}_{{A_{k}}}(x))

nullák és egyesek szorzata. Ez a szorzat pontosan 1-et vesz fel azokra , amelyek egyik halmazhoz sem tartoznak, egyébként pedig 0-t. Ezért $x\X-ben$ $A_k$

\prod _{{k\in I}}(1-{\mathbf {1}}_{{A_{k}}})={\mathbf {1}}_{{X-\bigcup _{{k }}A_{k}}}=1-{\mathbf {1}}_{{\bigcup _{{k}}A_{k}}}.

A bal oldalt kiterjesztve azt kapjuk

{\mathbf {1}}_{{\bigcup _{{k}}A_{k}}}=1-\sum _{{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}}( -1)^{{|F|}}{\mathbf {1}}_{{\bigcap _{F}A_{k}}}=\sum _{{\emptyset \neq F\subseteq \{1, 2,\ldots ,n\}}}(-1)^{{|F|+1}}{\mathbf {1}}_{{\bigcap _{F}A_{k}}},

hol a hatalom . Ez a befogadás-kizárás elvének egyik formája . Ez a példa azt jelzi, hogy az indikátor hasznos jelölés a kombinatorikában , amelyet más területeken is használnak, például a valószínűségszámításban : ha egy valószínűségi tér valószínűségi mértékkel és mérhető halmaz , akkor az indikátor véletlenszerűvé válik. változó , amelynek matematikai elvárása megegyezik a valószínűséggel $|F|$ $F$ $x$ ${\mathbf {P}}$ $A$ $\mathbf {1} _{A}$ $V:$

E({\mathbf {1}}_{A})=\int \limits _{{X}}{\mathbf {1}}_{A}(x)\,d{\mathbf {P}}= \int \limits _{{A}}d{\mathbf {P}}={\mathbf {P}}(A).\quad

Ezt az azonosságot Markov-egyenlőtlenség egyszerű bizonyításaiban használják .

Bibliográfia

Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications , 2. kiadás, John Wiley & Sons , Inc., 1999.
Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest és Clifford Stein. Bevezetés az algoritmusokba , második kiadás. MIT Press és McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7 . 5.2. szakasz: Indikátor valószínűségi változók, pp. 94–99.

Mutató (matematika)

Definíció

Alaptulajdonságok

Bibliográfia

Lásd még