Involúció (matematika)

Involúció (a lat. involutio - hajtogatás, göndör) - transzformáció , amely önmagának a fordítottja . Ezenkívül gyakran feltételezik, hogy az involúció nem identitásleképezés .

Definíció

Egy függvényt involúciónak nevezünk, ha bármelyik esetén . $f\kettőspont X\X-re$ $f(f(x)) = x$ $x\X-ben$

Két involúció összetétele akkor és csak akkor involúció, ha ingáznak: . ${\displaystyle {f}\circ{g))$ $f$ $g$ ${f}\circ {g}=g\circ f$

$f(x) = -x$ , egész számok , racionális vagy valós számok halmazán definiálva ; $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$
a legegyszerűbb involúciók a valós számok halmazán : $\mathbb {R}$ ${\dfrac {a}{x}}$ , , , , , ; $ax$ ${\dfrac {x}{x-1))$ ${\dfrac {x+1}{x-1))$ ${\dfrac {x-1}{x+1}}$ ${\dfrac {ax+b}{cx-a}}$
$f(x)=\bar{x}$ valamely univerzális halmaz részhalmazaira meghatározott halmaz komplementere ; $U$
$f(x)= \neg x$ - a Boole-algebra logikai negációja ;
A sík mozgásai között kétféle nem triviális involúció létezik: központi és tükörszimmetria .
- Így az involúciók vonalaknak és pontoknak, a planimetria fő tárgyainak felelnek meg. Bachmann axiomatikája ezen a megfigyelésen alapul .
inverzió ;
összetett ragozás ;
Legendre átalakulás
A permutáció involúció, ha minden involúció diszjunkt transzpozíciók szorzata, például: $\tau$ $\tau\circ\tau=id$ $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 5 & 7 & 4 & 3 & 1 & 8 & 2 & 6\end{pmatrix} = (1,5)(2 .7)(3.4)(6.8)$ .
- Az involúciók számát a sorrendi permutációs csoportban a következő képletek határozzák meg: $n$ $a(0)=1,\ a(1)=1,\ a(n)=a(n-1)+(n-1)a(n-2),\ n>1$ (ismétlődő képlet), $a(n) = \sum_{k=0}^{[ n/2 ]}{\frac{n!}{2^k\cdot (n-2k)!\cdot k!))$ ,

(első értékek : 1, 1 , 2 , 4 , 10 , 26 , 76 , 232, 764, 2620, 9496, 35696, 140152 [1] ).

a(n)