Bernstein probléma

A Bernstein -probléma egy olyan függvény gráfjával kapcsolatos probléma, amely egy minimális felület. Szergej Natanovics Bernsteinről nevezték el , aki 1914-ben megoldotta a probléma kétdimenziós esetét.

A Bernstein-probléma szorosan összefügg azzal a kérdéssel, hogy a megfelelő dimenzióban léteznek-e nem sima minimális hiperfelületek.

Megfogalmazás

Milyen feltételek mellett kell egy mindenre definiált függvény grafikonjának laposnak lennie , ami a minimális felület a -ben ? $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\R^{n+1}$

Válasz: Ez igaz erre és hamis erre . A függvénynek megfelelő példája az űrlap függvényei között található $n\leqslant 7$ $n\geqslant 8$ $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8})=F(u, v)

ahol

u={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2))},\quad { \text{u}}\quad v={\sqrt {x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}} }.

Jegyzetek

Bernstein problémájáról kiderült, hogy közvetlenül összefügg a területet minimalizáló, nem sík kúp létezésének kérdésével. Az ilyen hiperfelület konkrét példája a felület $\mathbb {R} ^{n}$

\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^ {2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}

Történelem

1914-ben Bernstein bebizonyította, hogy a probléma állítása igaz -ra . [1] ( Bernstein nyereggráf-tételét ugyanebben a cikkben igazolták .) $n=2$
1962-ben Fleming újabb bizonyítékot adott Bernstein tételére, abból a tényből származtatva, hogy a -ban nincsenek nem sík területminimalizáló kúpok . [2] $\mathbb {R} ^{3}$
1965-ben de Giorgi kimutatta, hogy ha nincsenek területminimalizáló nem síkú kúpok, akkor Bernstein tételének analógja igaz -ra. Ebből különösen az eset következik . [3] $\mathbb {R} ^{n}$ $n$ $n=3$
1966-ban Almgren bebizonyította, hogy nincsenek területminimalizáló nem síkú kúpok -ben , és így általánosította Bernstein tételét -re . $\R^4$ $n=4$
1968-ban Simons kimutatta a területminimalizáló nem síkú kúpok hiányát, és így általánosította Bernstein tételét . [négy] $\mathbb{R} ^{7}$ $n\leqslant 7$
- Példákat is hozott a lokálisan stabil kúpokra ben , de nem tudta bizonyítani, hogy ezek minimalizálják a területet. $\mathbb {R} ^{8}$
1969-ben Bombieri , de Giorgi és Giusti bebizonyította, hogy a Simons-kúpok valóban minimalizálnak, és vannak olyan gráfok a csúcson, amelyek minimálisak, de nem laposak. [5] $\R^{n+1}$ $n\geqslant 8$
- Simons eredményével együtt ez teljesen megoldja a Bernstein-problémát.

Jegyzetek

↑ Bernstein, SN (1915–1917), Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique, Comm. szoc. Math. Kharkov Vol . 15: 38–45 Német fordítás: Bernstein, Serge (1927), Über ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus , Mathematische Zeitschrift (Springer Berlin / Heidelberg). — V. 26: 551–558, ISSN 0025-5874 , DOI 10.1007/BF01475472 Orosz fordítás Uspekhi matematicheskikh nauk, vol. VIII (1941), 75-81 és S. N. Bernshtein, Összegyűjtött művek. T. 3. (1960) p. 251-258.
↑ Fleming, Wendell H. (1962), On the oriented Plateau problem , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . Serie II Vol. 11: 69–90, ISSN 0009-725X , DOI 10.1007/BF02849427
↑ De Giorgi, Ennio (1965), Una estensione del teorema di Bernstein , Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) Vol. 19: 79–85 , < http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1965_3_19_1_79_0 > Archivált : 2015. június 16. a Wayback Machine -nél
↑ Simons, James (1968), Minimális fajták a riemann-féle sokaságban, Annals of Mathematics. Second Series Vol. 88: 62–105, ISSN 0003-486X
↑ Bombieri, Enrico ; De Giorgi, Ennio és Giusti, E. (1969), Minimális kúpok és a Bernstein-probléma , Inventiones Mathematicae T. 7: 243–268, ISSN 0020-9910 , DOI 10.1007/BF01404309