Tömeg-fényesség kapcsolat

A tömeg-fényesség összefüggés az asztrofizika egyenlete, amely megmutatja a csillag tömege és fényessége közötti kapcsolatot. Ennek az egyenletnek megvan a formája

{\frac {L}{L_{\odot }}}=\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{a},

ahol L ⊙ és M ⊙ a Nap fényessége és tömege , 1 < a < 6. [1] Az a = 3,5 értéket általában a 2 M ⊙ < M < 20 M ⊙ tömegű csillagokra [2] használják . és nem alkalmazható vörös óriásokra vagy fehér törpékre . Ha a csillag eléri az Eddington-határt , az a = 1.

A csillagtömegek különböző tartományaira a tömeg-fényesség függés a következőképpen néz ki: [1] [3]

{\frac {L}{L_{\odot }}}\approx 0,23\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{2,3}\qquad (M<0,43 M_{\odot })

{\frac {L}{L_{\odot }}}=\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{4}\qquad \qquad (0,43M_{ \odot }<M<2M_{\odot })

{\frac {L}{L_{\odot }}}\approx 1.5\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{3.5}\qquad (2M_{\ odot }<M<20M_{\odot })

{\frac {L}{L_{\odot }}}\approx 3200{\frac {M}{M_{\odot }}}\qquad \qquad (M>20M_{\odot })

A 0,43 M⊙ tömegnél kisebb tömegű csillagok esetében a fő szállítási mechanizmus a konvekció , ami jelentősen megváltoztatja az arányt. A 20 M⊙ tömeget meghaladó csillagok esetében a függőség L ∝ M alakot ölt . [1] Kimutatható, hogy ez a függőségváltozás a nagy tömegű csillagok sugárzási nyomásának növekedése miatt következik be. Ezeket az egyenleteket empirikusan kapjuk meg, amikor meghatározzuk a csillagok tömegét kettős rendszerekben , amelyek távolsága parallaxis mérésekből vagy más módszerekkel ismert. Ha a tengelyek logaritmikus léptékű grafikonján kellően nagy számú csillag adatait ábrázoljuk, a pontok egy egyenest alkotnak, amelynek meredeksége a értékét jelzi.

A tömeg-fényesség összefüggés azért fontos, mert lehetővé teszi az olyan bináris rendszerek távolságának becslését, amelyek túl távol vannak ahhoz, hogy parallaxisukat a dinamikus parallaxis módszerrel meg lehessen mérni . Ez a függőség felhasználható egy csillag élettartamának meghatározására is, mivel ez megközelítőleg arányos az M/L aránnyal.

Az egyenlet levezetése

Egy egzakt elméleti összefüggés levezetéséhez szükség van az energiateremtési egyenlet ismeretére és a csillag belsejének termodinamikai modelljének megalkotására. Az L ∝ M 3 fő összefüggés azonban levezethető a fizika alaptörvényeiből néhány egyszerűsítő feltevés mellett. [4] Az első ilyen következtetést Arthur Eddington asztrofizikus vonta le 1924-ben. [5] E megközelítés keretében a csillagok anyagát ideális gázmodellként ábrázolták. Az alábbiakban egy hasonló függőségi levezetési algoritmust mutatunk be, de az optikai átlátszatlanság figyelembevétele nélkül.

Az első közelítésben a csillagok abszolút fekete testekként ábrázolhatók 4 πR 2 felülettel . A Stefan-Boltzmann törvény szerint a fényerő az

L=4\pi R^{2}\sigma T_{E}^{4},

ahol σ a Stefan-Boltzmann-állandó , amely egyenlő 5,67 × 10 -8 W m -2 K -4 . Hidrosztatikai egyensúly esetén az egyenlőség létrejön

{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm(r)\rho (r)}{r^{2}}}.

Ha ezt az egyenlőséget r felett 0-ból R-be integráljuk, akkor a viriális tétel egyik kifejezését kapjuk :

\langle P\rangle =-{\frac {1}{3}}{\frac {E_{GR}}{V}}

A gömbi eloszlású tömeg potenciális energiája alakja

E_{GR}=-{\frac {3}{5}}{\frac {GM^{2}}{R}}.

Ha ezt a kifejezést behelyettesítjük az előző képletbe, és az V térfogatot a golyó térfogatával helyettesítjük, akkor közelítő egyenlőséget kapunk

\langle P\rangle \approx {\frac {GM^{2}}{4\pi R^{4}}}

Az egyik egyszerűsítés az a feltételezés, hogy az adott rendszerre az ideális gáz állapotegyenlete érvényes:

PV=nkT,\qquad \langle P\rangle ={\frac {\langle \rho \rangle }{\bar {m))}kT.

A hőmérséklet kifejezése így fog kinézni

kT={\frac {GM{\bar {m}}}{3R}}

Itt látható a csillag belsejében lévő gázrészecskék átlagos tömege. Amikor ezt a kifejezést behelyettesítjük a luminozitás egyenletébe, valamint amikor a sugarat alakban fejezzük ki ${\bar {m))$

R=\left({\frac {3}{4}}{\frac {1}{\rho \pi }}M\right)^{\frac {1}{3}}

kapja meg a fényerő és a tömeg összefüggését

L\varpropto M^{3.33}

Kicsit pontosabb kifejezést kaphatunk, ha figyelembe vesszük, hogy a fenti egyenlet lehetővé teszi, hogy ismert átlagnyomás mellett megkapjuk az átlaghőmérsékletet, de a fényesség kifejezésénél ismerni kell a csillag felületének hőmérsékletét. . Mivel a csillagok központi tartományukban sokkal melegebbek, mint a felszínen, meg kell becsülni a felszíni hőmérséklet és a belső hőmérséklet közötti kapcsolatot. A csillag központi része olyan forró, hogy hosszú időbe telik, amíg az energia elhagyja a központi régiót; más szóval a termodinamikai egyensúly meglehetősen gyorsan beáll. Véletlenszerű sétamodell segítségével megbecsülhető az energia felszabadulásához szükséges idő. Valójában a Nap fotonjainak átlagos szabad útja a sűrűségtől és a hőmérséklettől függ, de ebben az esetben ezt az értéket állandónak vesszük. A mozgásvektor véletlenszerű irányú elmozdulásához vezető kölcsönhatások után a megtett út alakja a következő $l$ $N$ $N$

\mathbf {D=l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{n))

Az eltolási modulus négyzete így fejezhető ki

D^{2}=l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+\cdots +l_{n}^{2}+2(\mathbf {l_{1}\cdot l_{2}+l_{1}\cdot l_{3}+\cdots )}

Nagyszámú eltolás átlagolásakor a skaláris szorzatot tartalmazó tagok az irányok véletlenszerűsége miatt nullázódnak. Így nagy értékek esetén a kifejezés $N$

D^{2}=l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+\cdots +l_{n}^{2}=Nl^{2}.

Következésképpen ahhoz, hogy a sugárzás elhagyja a Napot, átlagosan újraemisszióra van szükség. A folyamat lezajlásához szükséges idő . A Nap sugarának újrakibocsátás nélküli áthaladásához szükséges idő , ami szorzóval kevesebb az előző eredménynél . A kapott relációt behelyettesítve a Stefan-Boltzmann törvénybe, megkapjuk a kifejezést ${\frac {R^{2}}{l^{2}}}$ $t\approx {\frac {R^{2}}{cl}}$ ${\frac {R}{c}}$ ${\frac {l}{R))$

T_{E}\approx {\Big [}{\frac {l}{R}}{\Big ]}^{\frac {1}{4}}T_{I}

A fényerő végső kifejezése a következő formában lesz: [4]

L\approx 4\pi R^{2}\sigma T_{I}^{4}{\frac {l}{R}}\approx {\frac {(4\pi )^{2}} {3^{5}}}{\frac {\sigma }{k^{4}}}G^{4}{\bar {m}}^{4}\langle \rho \rangle lM^{3} .

Az átlagos szabad út fordítottan arányos a keresztmetszet és a koncentráció szorzatával, tehát

l\varpropto \langle \rho \rangle ^{-1}.

Ha ezt a kifejezést behelyettesítjük az előző képletbe, azt kapjuk

L\varpropto M^{3}.

A kis és nagy tömegű csillagok megkülönböztetése

A kis és nagy csillagtömeg esetei közötti különbséget a sugárzási nyomás figyelembevételével az egyenletek levezetésével kaphatjuk meg. Ebben az esetben könnyebb figyelembe venni az optikai átlátszatlanságot és a belső hőmérsékletet . Pontosabban, figyelembe kell venni az átlagos hőmérsékletet a sugárzási átviteli zónában . $\kappa$ $T_{I}$

A sugárzási nyomásgradiens kielégíti az egyenlőséget

{\frac {dP_{rad}}{dr}}=-{\frac {\kappa \rho }{c}}{\frac {L}{4\pi r^{2}}},

ahol a fénysebesség és egyenlő a foton szabad útjával. $c$ $1/\kappa \rho =l$

A sugárzási nyomás összefüggésben van a hőmérséklettel , ezért $P_{rad}={\frac {4\sigma }{3c}}{T_{I}}^{4},$

{T_{I}}^{3}{\frac {dT_{I}}{dr}}=-{\frac {3\kappa \rho }{16\sigma }}{\frac {L} {4\pi r^{2}}},

ahonnan az arányosság következik

L\varpropto {T_{I}}^{4}{\frac {R}{\rho }}\varpropto {T_{I}}^{4}{\frac {R^{4}}{ M}}.

A sugárzási átvitel zónájában a gravitációt a gáz és a sugárzás nyomása egyensúlyozza ki. Kis tömegű csillagok esetén a sugárzási nyomás kicsi, ezért az összefüggés érvényes

T_{I}\varpropto {\frac {M}{R))

Így a fényesség kifejezésének ebben az esetben a formája van

L\varpropto M^{3}.

Nagy tömegű csillagok esetében a sugárzási nyomás meghaladja a gáznyomást a sugárzási átviteli zónában. Ebben az esetben a kifejezés

{T_{I}}^{4}\varpropto {\frac {M^{2}}{R^{4}}},

ami a tömeg és a fényerő arányának alakjához vezet:

L\varpropto M.

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Salaris, Maurizio; Santi Cassisi. Csillagok és csillagpopulációk evolúciója (angol) . - John Wiley & Sons , 2005. - P. 138-140. - ISBN 0-470-09220-3 .
↑ Tömeg-fényesség összefüggés . hiperfizika. Letöltve: 2009. augusztus 23. Az eredetiből archiválva : 2019. október 22. (határozatlan)
↑ Duric, Nebojsa fejlett asztrofizika . - Cambridge University Press , 2004. - P. 19. - ISBN 978-0-521-52571-8 .
↑ 12 Phillips, A.C. A csillagok fizikája . - John Wiley & Sons , 1999. - ISBN 978-0-471-98798-7 .
↑ Lecchini, Stefano. Hogyan lettek a törpökből óriások. A tömeg-fényesség kapcsolat felfedezése . — Berni tudománytörténeti és tudományfilozófiai tanulmányok. — ISBN 978-3-9522882-6-9 . (nem elérhető link)