Merev rendszer

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. szeptember 13-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A merev közönséges differenciálegyenlet- rendszer (ODE) (lazán szólva) az ODE-k olyan rendszere, amelynek numerikus megoldása explicit módszerekkel (például Runge-Kutta vagy Adams módszerekkel ) nem kielégítő az számítások száma (kis integrációs lépéssel), vagy azért, mert a hiba hirtelen növekedéséhez (ún. hibarobbanás) nem kellően kis lépéssel. A merev rendszerekre jellemző, hogy számukra az implicit módszerek adják a legjobb eredményt, általában összehasonlíthatatlanul jobbak, mint az explicit módszerek [1] .

Formális definíció

Tekintsük a Cauchy-problémát a forma ODE-k autonóm rendszerére

{\begin{cases}{\dfrac {d{\mathbf {y}}(x)}{dx}}={\mathbf {F}}({\mathbf {y}}(x)),\quad { \mathbf {F}}({\mathbf {y}})\in C^{p}(\Omega ),\quad \Omega \subset \mathbb{R} ^{m},\\{\mathbf {y }}(x_{0})={\mathbf {y}}_{0}\in \Omega ,\end{cases}}

(egy)

ahol egy ismeretlen vektorfüggvény , egy adott vektorfüggvény, egy független változó, egy kezdeti feltétel . ${\mathbf {y}}(x)$ ${\mathbf {F}}({\mathbf {y}})$ $x$ ${\mathbf {y}}(x_{0})={\mathbf {y}}_{0}$

Az (1) rendszert merevnek nevezzük, ha egy adott szakaszon az (1) megoldás létezési intervallumához tartozó bármely kezdeti értékre a következő feltételek teljesülnek: ${\mathbf {y}}(x_{0})={\mathbf {y}}_{0}$ $[x_{0},\;x_{{\mathrm {end}}}]$

a Jacobi mátrix sajátértékeinek maximális modulusa ( spektrális sugár ) a megoldás mentén korlátos : $\rho$ ${\mathbf {y}}(x)$

0<L\leqslant \rho \left({\frac {\partial {\mathbf {y))(x)}{\partial x))\right)\leqslant \left\|{\frac {\partial {\ mathbf {y}}(x)}{\partial x}}\right\|=\left\|\left.{\frac {\partial K(x+\xi ,\;x)}{\partial \xi } }\right|_{{\xi =0}}\right\|<+\infty ,\quad x_{0}\leqslant x\leqslant x_{{\mathrm {end}}};

vannak , , , számok , amelyek teljesítik a következő feltételeket: $\xi _{{\mathrm {b}}}$ $N$ $\nu$

0<\xi _{{\mathrm {b}}}\ll x_{{\mathrm {end}}},\quad N\gg 1,\quad 1\leqslant \nu \leqslant p,\quad 0<\ xi _{{\mathrm {b}}}\leqslant x+\xi _{{\mathrm {b}}}\leqslant x+\xi \leqslant x_{{\mathrm {end}}};

igaz a következő egyenlőtlenség:

\left\|{\frac {\partial ^{\nu }K(x+\xi ,\;x)}{\partial \xi ^{\nu ))}\right\|\leqslant \left({\frac {L}{N}}\jobbra)^{\nu }.

Itt

K(x+\xi ,\;x)=X(x+\xi )X^{{-1}}(x);

X(x)

az egyenlet alapmátrixa az (1) rendszer variációiban ;

\|A\|=\|A\|_{m}=\max _{i}\sum _{{j=1}}^{m}|a_{{ij}}|

a mátrix -norma .

m

\xi _{{\mathrm {b}}}

a határréteg úgynevezett hossza (paramétere).

A merev differenciális ODE-rendszerek olyan rendszereket is magukban foglalnak, amelyeknél ezek a feltételek teljesülnek az egyes megoldások vektorkomponenseinek skálázása után . ${\mathrm {y}}(x)$

Mivel bármely nem autonóm ODE rendelési rendszer autonómmá redukálható egy további segédfunkció bevezetésével, ezért a nem autonóm ODE rendszert merevnek nevezzük, ha a vele egyenértékű autonóm rendrendszer merev . $m$ $m+1$

Jegyzetek

↑ Curtiss CF, Hirschfelder J. O. Integration of stiff equations Archivált : 2015. szeptember 24., a Wayback Machine // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. - 1952. - évf. 38. (3) bekezdése alapján. - pp. 235-243.

Irodalom

Hairer E., Wanner G. Közönséges differenciálegyenletek megoldása. Merev és differenciálalgebrai problémák / Per. angolról. — M .: Mir, 1999. — 685 p. — ISBN 5-03-003117-0 . .
Curtiss CF, Hirschfelder J. O. Merev egyenletek integrálása // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. - 1952. - évf. 38. (3) bekezdése alapján. - pp. 235-243.

Merev rendszer

Formális definíció

Jegyzetek

Irodalom

Linkek