Pontdinamika

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 5-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 12 szerkesztést igényelnek .

A pontdinamika a dinamikának egy olyan szakasza , amely az anyagi pontok mozgásában bekövetkezett változások okait vizsgálja , vagyis olyan testek esetében, amelyek jellemző méretei elhanyagolhatók a probléma méretének skáláján. Az ilyen testek mozgásának matematikai leírása a mozgás okainak elemzése nélkül a pontkinematika tárgya . Ez a szakasz alapvető a dinamikában, amelyben bármilyen szilárd testet, folyadékot vagy gázt kölcsönhatásban lévő anyagi pontok rendszerének tekintenek.

Alapok

A tér tulajdonságai : homogenitás , izotrópia . Vagyis a zárt rendszerben lezajló folyamatokat nem befolyásolja sem helyzete, sem orientációja.
Relativitáselv : a különböző tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerekben (vagyis azokban, amelyekben egy pont gyorsulása , amelyre az erőhatások kiegyenlítve nullával egyenlő) lejátszódó mechanikai folyamatok azonos módon mennek végbe. Legalább egy inerciális vonatkoztatási rendszer létezése Newton első törvényét feltételezi .
A determinizmus elve [1] : egy mechanikai rendszer kezdeti állapota (a rendszer pontjainak helyzeteinek és sebességeinek halmaza egy adott időpontban) egyértelműen meghatározza a teljes mozgását. A matematikai nyelven ez azt jelenti, hogy a mozgás törvényét egyedileg határozza meg a helyzet és a sebesség egy adott időpontban . Ez azt jelenti, hogy minden mozgást a differenciálegyenlet megoldása határoz meg , ahol a vektorfüggvényt fizikai megfontolások határozzák meg. ${\vec r}(t)$ ${\vec {r}}(\tau )$ ${\pont {\vec {r}}}(\tau )$ $\tau$ ${\ddot {\vec {r}}}(t)={\vec {f}}\left(t,{\vec {r}}(t),{\pont {\vec {r} }}(t)\jobbra)$ $\vec f$

Alapfogalmak

Mise

Inerciális tömeg

A mindennapi tapasztalatból ismert, hogy minél nagyobb a test "tömege", annál nehezebb megváltoztatni a mozgás természetét. Egy nehezebb test mozgásba hozásához több erőfeszítést kell tenni, és egy nehéz testet is nehezebb megállítani. A tehetetlenségi tömeg fogalmának formalizálása lehetővé tette egy izolált mechanikai rendszer (olyan rendszer, amelyre az idegen testek befolyása elhanyagolható) inerciális vonatkoztatási rendszerben való figyelembevételét.

Empirikusan (lásd az impulzusmegmaradás törvényét ) azt találták, hogy két kölcsönhatásban lévő pontból álló rendszer esetén a sebességük különböző időpontokban a következő összefüggéssel függ össze: , ahol az együttható nem függ sem a választott időpontoktól, sem a sebességeket. ${\displaystyle t_{1},t_{2))$ ${\vec {v}}_{1}(t_{1})+\mu _{12}{\vec {v}}_{2}(t_{1})={\vec {v }}_{1}(t_{2})+\mu _{12}{\vec {v}}_{2}(t_{2})$ $\mu _{12}$

Nagyobb számú testen végzett kísérletek során kiderült, hogy . Mivel nem kapcsolódik a harmadik testhez, teljesül , vagyis a korábban leírtak a következő alakot öltik: . ${\displaystyle \mu _{12}={\frac {\mu _{32)){\mu _{31))))$ $\mu _{12}$ ${\displaystyle \mu _{32}=m_{3}m_{2},\;\mu _{31}=m_{3}m_{1))$ $m_{1}{\vec {v}}_{1}(t_{1})+m_{2}{\vec {v}}_{2}(t_{1})=m_{1 }{\vec {v}}_{1}(t_{2})+m_{2}{\vec {v}}_{2}(t_{2})$

Vegye figyelembe, hogy a tömeget így egy állandóig határozzák meg (tetszőleges együttható ), ami viszont a tömegstandard bevezetéséhez vezet . $k$

Gravitációs tömeg

Szokás szerint a misét is más definícióval látják el. Ehhez használjon mérlegmérleget és tömegmércét. Ez a meghatározási módszer azon a feltételezésen alapul, hogy a gravitáció egyformán hat a két mérlegen mért tömegekre. Ezért az így meghatározott tömeget gravitációsnak nevezzük.

Kísérletek ( Galileo , Newton , Braginsky ) kimutatták, hogy a gravitációs és a tehetetlenségi tömegek nagyon nagy pontossággal (-ig ) esnek egybe. Identitásuk feltételezése vezetett az általános relativitáselmélet megalkotásához . $10^{-12}$

Lendület, erő

Egy anyagi pont lendületének definíciója a kifejezés ( a pont tömege, és a sebesség vektora). A determinizmus elve alapján: ${\vec p}$ ${\vec p}=m{\vec v}$ $m$ ${\vec {v}}$

{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=m{\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}(t,{\vec {r} }(t),{\pont {\vec {r}}}(t))

, ahol a vektor ekvivalens az erővel , maga a kifejezés pedig ekvivalens Newton második törvényével .

{\vec {F}}

Ebből különösen az következik, hogy a megszerzett impulzus nemcsak az erőtől, hanem az expozíció idejétől is függ. ${\vec {p}}-{\vec {p}}_{0}=\int _{t_{0}}^{t}{\vec {F}}\,dt$

Feltételezve a párkölcsönhatás elvének érvényességét (azaz olyan, hogy két anyagi pont egymásra hatása nem függ más anyagi pontok jelenlététől), zárt rendszer esetén teljesül az impulzusmegmaradás törvénye :

{\vec {p}}=\sum _{i}{\vec {p}}_{i}=\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i} =const

amiből az következik, hogy (ha ehhez hozzávesszük, hogy az erők a pontokat összekötő egyenes mentén irányulnak, megkapjuk Newton harmadik törvényét ). Kiderül, hogy a szuperpozíció elve érvényes: sok erő hatása egyenlő egy erő (eredményes) hatásával, egyenlő a ható erők vektorösszegével. ${\vec {F}}_{ij}=-{\vec {F}}_{ji}$

Az impulzusmegmaradás törvénye alapján ebből az következik, hogy egy zárt rendszer belső erőinek összege nulla. Tetszőleges rendszerre: , ahol a külső erők eredője (a lendületváltozás törvénye). ${\dot {\vec {p}}}={\vec {F}}$ ${\vec {F}}$

Anyagi pontrendszerre bevezetjük a tömegközéppont fogalmát : , melynek értelmében a rendszer impulzusának változásának törvénye leegyszerűsödik . ${\vec {r}}_{c}={\frac {\sum _{i}{\vec {r}}_{i}m_{i}}{\sum _{i}m_{ i}}},\;m_{c}=\sum _{i}m_{i}$ $\sum _{i}{\dot {\vec {p}}}_{i}={\vec {F}}\;\Leftrightarrow \;m_{c}{\ddot {\vec {r }}}_{c}={\vec {F}}$

Azaz egy anyagi pontrendszer tömegközéppontja anyagi pontként mozog, amelynek tömege megegyezik a rendszer össztömegével, a ható erő pedig egyenlő a rá ható összes külső erő geometriai összegével. rendszer. A tömegközépponttal együtt gyakran bevezetik a csökkentett tömeget is .

Az erők osztályozása

Alaperők (alapvető kölcsönhatások):

A gravitációs vonzás erői
Elektromágneses erők
Az erős erő a hadronok és kvarkok közötti kölcsönhatás. Az atommag nagyságrendjének megfelelő vagy annál kisebb skálákon működjön
A gyenge kölcsönhatási erők olyan kölcsönhatások, amelyek különösen az atommagok béta-bomlásának és az elemi részecskék gyenge bomlásának folyamataiért felelősek. Az atommag méreténél jóval kisebb távolságokban jelennek meg

Az erők származtatott típusai:

Rugalmas erők - a test reakciói az alakváltozásra
Súrlódási és ellenállási erők
- Viszkózus súrlódás - a szilárd test felülete és a környező folyékony vagy gáznemű közeg közötti súrlódás (vagy az ilyen közeg különböző rétegei közötti súrlódás)
- A száraz súrlódás két érintkező szilárd test felülete közötti súrlódás. Ha nincs relatív mozgás, akkor a száraz súrlódás statikus vagy kohéziós súrlódás. Relatív mozgással - csúszósúrlódás vagy gördülési súrlódás

Energia

Kinetikus energia

Egy erő elmozdulásra gyakorolt elemi munkáját a kifejezés határozza meg . A pálya egy szakaszán a teljes munka ${\vec {F}}$ $d{\vec {r))$ $dA={\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}$ $L$

A=\int _{L}{\vec {F}}\,d{\vec {r}}

Azóta _ ${\vec {F}}={\pont {\vec {p}}}=m{\pont {\vec {v}}}$

A=m\int _{L}{\vec {v}}\,d{\vec {v}}={\frac {mv^{2}}{2}}{\Bigg |}_ {{\vec {r}}_{2}}-{\frac {mv^{2}}{2}}{\Bigg |}_({\vec {r}}_{1}}

Kifejezés

T={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {p^{2}}{2m}}

mozgási energiának nevezzük .

Így egy erő munkája egy anyagi pont mozgatásakor egyenlő ennek a pontnak a mozgási energiájának növekedésével, ami könnyen általánosítható egy anyagi pontrendszer esetére (az energiaváltozás törvénye).

Kinetikus energiák kapcsolata különböző vonatkoztatási rendszerekben

Az abszolút sebességhez , relatív és transzlációs sebességhez : ${\vec {v}}$ $\vec u$ ${\vec {\mathrm {v} }}$

T=T'+{\frac {m\mathrm {v} ^{2}}{2}}+m\,{\vec {u}}\cdot {\vec {\mathrm {v} } }

Hol van a kinetikus energia egy relatív referenciakeretben. $T'$

A tömegközéppont transzlációs mozgásához kapcsolódó relatív vonatkoztatási rendszerben: ( König tétele ). $T=T_{c}+{\frac {mv_{c}^{2}}{2}}$

Potenciális energia

Ha az erőt a formában ábrázoljuk , akkor ez potenciális, és - potenciális energia . Ha a potenciális erő nem függ az időtől, akkor konzervatívnak nevezzük. A konzervatív erő által végzett munka így írható fel: ${\vec {F}}({\vec {r}},t)=-\nabla U({\vec {r}},t)$ $U({\vec {r)),t)$

A=-\int _{L}{\frac {\partial {\vec {F))}{\partial {\vec {r))))\,d{\vec {r))=U ({\vec {r}}_{1})-U({\vec {r}}_{2})

Így bevezetjük a teljes energiát , amely a rendszer számára a konzervatív erők terén megmarad, pl. $E=T+U$

T_{1}+U_{1}=T_{2}+U_{2}

( energiamegmaradás törvénye )

Általános esetben az energiaváltozás megegyezik a nem konzervatív erők munkájával (az energiaváltozás törvénye)

Egyensúly

Legyen az anyagi pont az idő pillanatában egy bizonyos pozícióban, sebessége pedig nullával egyenlő. Ha ezen kezdeti feltételek mellett a pont továbbra is ebben a helyzetben marad , akkor ezt a pontot egyensúlyi helyzetnek nevezzük. Potenciális erő esetén az egyensúlyi feltétel a . $\tau$ $t>\tau$ $\nabla U=0$

Ha az egyensúlyi helyzetben az erőpotenciálnak van egy izolált minimuma, akkor ez az egyensúlyi helyzet stabil.

A viriális tétel

Továbbá a for egy érték hosszú időn keresztüli átlagolását jelöli , azaz $\langle f\rangle$ $f(t)$

\langle f\rangle =\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{\tau }^{\tau +T}f(t)\,dt

A matematika szempontjából ha , akkor . Ezen az alapon, ha a rendszer mozgása térben korlátozott, akkor a Clasius-tétel érvényes: $f(t)={\pont {\varphi }}(t)$ $\langle f\rangle =0$

\langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\sum _{i}\langle {\vec {r}}_{i}\cdot {\vec {F}}_{ i}\rangle

Pillanatok

A pont körüli erőnyomatékot a következőképpen határozzuk meg: . Kimutatták, hogy ez nem függ az erő alkalmazási pontjától. $O$ ${\vec {M}}=[{\vec {r}}\times {\vec {F}}]$

Szögnyomaték M.T. a pólushoz viszonyítva definíció szerint . $O$ ${\vec {L}}=[{\vec {r}}\times {\vec {p}}]$

Ahogy a definíciókból következik, . Ha úgy adódik ( a szögimpulzus megmaradásának törvénye ) ${\dot {\vec {L}}}={\vec {M}}$ ${\vec {M}}=0$ ${\vec {L}}=const$

Az előbbiek általánosításban is igazak egy olyan anyagi pontrendszerre, amelynél többek között a belső erők mozzanatai kölcsönösen megsemmisülnek.

Szektori sebesség

Egy szektor elemi növekménye a vektor , ami a vége által elsöpört elemi területet jelenti . A kifejezést szektorális sebességnek nevezzük. $d{\vec {S}}={\frac {1}{2}}[{\vec {r}}\times {\vec {v}}\,dt]$ ${\vec {r))$ ${\displaystyle {\pont {\vec {S))))$

Általánosságban elmondható ,. ${\displaystyle {\vec {L}}=2m{\pont {\vec {S))))$

Szögimpulzus a CO tömegközéppontban

Az abszolút vonatkoztatási rendszerben lévő szögimpulzus kifejezésének és a tömegközépponthoz tartozó vonatkoztatási rendszernek (ha az inerciális) összefüggését a következőképpen fejezzük ki:

{\vec {L}}=m[{\vec {r}}_{c}\times {\vec {v}}_{c}]+{\vec {L}}_{c}

Egydimenziós mozgás potenciálmezőben

Az alábbiakban egy anyagi pont egydimenziós mozgását vizsgáljuk . Az energiamegmaradás törvénye szerint: $m{\ddot {x}}(t)=F(x)$

T=EU

, ahol elegendő a teljes energiát kiszámítani egy bizonyos pillanatra. A kifejezést a kinetikus energiával helyettesítve a következő eredményt kapjuk:

E

{\frac {mv^{2}}{2}}=EU\;\Rightarrow \;

{\displaystyle v=\pm {\sqrt {\frac {2(EU)}{m))))

, ami egy elválasztható változó egyenlethez vezet:

{\frac {dx}{\sqrt {EU}}}={\sqrt {\frac {2}{m}}} dt

Kommunikációképes mozgás

Ha egy anyagi pont mozgása korlátozott (például egy pont egy sík vagy egy görbe mentén mozoghat), akkor azt írják, hogy a pont mozgására összefüggés van ráírva.

Mozgás görbe mentén

Adjuk meg a görbét a térben két felület metszéspontjaként, amelyeket az és az egyenletek adnak meg . A normálok ezekhez a felületekhez és kollineárisak a vektorokhoz , ill. Mivel a görbe bármely normálisa az és vektorok által meghatározott síkban található , akkor $f_{1}(x,y,z,t)=0$ $f_{2}(x,y,z,t)=0$ $N_1$ $N_2$ ${\displaystyle \nabla f_{1))$ $\nabla f_{2}$ $N_1$ $N_2$

{\vec {R}}=\lambda _{1}\nabla f_{1}+\lambda _{2}\nabla f_{2}

Egy anyagi pont mozgásegyenletei a következő formában vannak felírva:

m{\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}+\lambda _{1}\nabla f_{1}+\lambda _{2}\nabla f_{2}

Ha a függvények és nem függnek kifejezetten az időtől, akkor, mint egy pont szabad mozgása esetén, $f_1$ $f_{2}$

{\frac {d}{dt}}\;{\frac {mv^{2}}{2}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}

Felületi mozgás

Maradjon az anyagi pont mindig valamilyen sima felületen, amit az egyenlet ad meg . Ideális kötés esetén a kötés reakcióereje merőleges a felületre , azaz. Egy pont mozgását teljesen meghatározzák a mozgásegyenletek és a kényszeregyenlet $f(x,y,z,t)=0$ ${\vec {R}}=\lambda \nabla f$

m{\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}+\lambda \nabla f

Ha a kapcsolat nem időfüggő, és az erő potenciális, akkor az élőerők integrálja teljesül

Adiabatikus invariánsok

Mozgás nem inerciális vonatkoztatási rendszerekben

Jegyzetek

↑ MEGHATÁROZÁSI ALAPELV • Great Russian Encyclopedia – elektronikus változat . bigenc.ru . Letöltve: 2021. szeptember 21. Az eredetiből archiválva : 2021. szeptember 21. (határozatlan)

Irodalom

Sivukhin DV Általános fizika tanfolyam. - M . : Tudomány , 1979. - T. I. Mechanika. — 520 s.
Berezkin E. N. Elméleti mechanika tanfolyam. M.: MGU, 1974. -647 p.