König-tétel (mechanika)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

König tétele lehetővé teszi, hogy egy mechanikai rendszer teljes kinetikai energiáját a tömegközéppont mozgási energiájával és a tömegközépponthoz viszonyított mozgási energiával fejezzük ki . J. S. König fogalmazta meg és bizonyította 1751-ben [1]

Megfogalmazás

A mechanikai rendszer kinetikus energiája a tömegközéppont mozgási energiája plusz a tömegközépponthoz viszonyított mozgási energia:

{T\;=\;T_{0}+T_{r}}\;,

ahol a rendszer teljes kinetikus energiája, a tömegmozgás középpontjának kinetikus energiája, a rendszer relatív mozgási energiája [2] . $T$ $T_{0}$ $T_{r}$

Más szóval, egy test vagy testrendszer teljes kinetikai energiája összetett mozgásban egyenlő a transzlációs mozgásban lévő rendszer energiájának és a mozgásban lévő rendszer tömegközépponthoz viszonyított energiájának összegével.

Egy pontosabb megfogalmazás [3] :

Egy anyagi pontrendszer mozgási energiája megegyezik a tömegközéppontjában szellemileg koncentrált és vele együtt mozgó rendszer teljes tömegének, valamint ugyanazon rendszer relatív mozgásában lévő kinetikus energiájának összegével. a transzlációsan mozgó koordinátarendszerhez képest, amelynek origója a tömegközéppontban van.

Következtetés

Bizonyítsuk be König tételét arra az esetre, amikor a mechanikai rendszert alkotó testek tömegei folytonos eloszlásúak [4] . $S$

Határozzuk meg a rendszer relatív kinetikus energiáját , értelmezve azt a mozgó koordináta-rendszerhez képest számított kinetikus energiáként . Legyen a rendszer vizsgált pontjának sugárvektora a mozgó koordináta-rendszerben. Akkor [5] : $T_{r}$ $S$ $\vec \rho$ $S$

T_r\;=\;\frac{1}{2} \int \frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec \ rho}{{\rm d}t}\,{\rm d}m\;,

ahol a pont a skaláris szorzatot jelöli , és az integráció a rendszer által az adott időpontban elfoglalt tértartományon történik.

Ha a mozgó rendszer origójának sugárvektora, és a rendszer vizsgált pontjának sugárvektora az eredeti koordinátarendszerben, akkor az összefüggés igaz: ${\vec r}_{0}$ ${\vec {r))$ $S$

\vec r\;=\;\vec r_0 + \vec \rho\;.

Számítsuk ki a rendszer teljes kinetikus energiáját abban az esetben, ha a mozgó rendszer koordinátáinak origója a tömegközéppontjában van. Az előző összefüggést figyelembe véve a következőket kapjuk:

T\;=\;\frac{1}{2} \int \frac{{\rm d}\vec r}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec r} {{\rm d}t}\,{\rm d}m\;=\;\frac{1}{2}\int \left(\frac{{\rm d}\vec r_o}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\right)\cdot\left(\frac{{\rm d}\vec r_o}{{\rm d}t}+\frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\jobbra)\,{\rm d}m\;.

Tekintettel arra , hogy a sugárvektor mindenre azonos , a zárójelek kinyitásával ki lehet venni az integráljelből : ${\vec r}_{0}$ ${\rm d}p$ $\frac{{\rm d}\vec r_0}{{\rm d}t}$

T\;=\;\frac{1}{2}\frac{{\rm d}\vec r_0}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec r_0}{{ \rm d}t}\int \,{\rm d}m\,\,+\,\,\frac{{\rm d}\vec r_0}{{\rm d}t}\cdot\int \ frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\,{\rm d}m\,\,+\,\,\frac{1}{2} \int \frac{ {\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\cdot\frac{{\rm d}\vec \rho}{{\rm d}t}\,{\rm d}m\ ;.

A képlet jobb oldalán található első tag (amely egybeesik a mozgó rendszer origójában elhelyezett, a mechanikai rendszer tömegével megegyező tömegű anyagi pont kinetikus energiájával) értelmezhető [2]. mint a tömegmozgás középpontjának kinetikus energiája.

A második tag egyenlő nullával, mivel a benne lévő második tényező egyenlő a rendszer tömegközépponthoz viszonyított impulzusával, amely egyenlő nullával.

A harmadik tag, mint már bemutattuk, egyenlő , vagyis a rendszer relatív kinetikus energiájával . $T_{r}$ $S$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Gernet, 1987 , p. 258.
↑ 1 2 Zhuravlev, 2001 , p. 72.
↑ Sivukhin D.V. A fizika általános kurzusa. - M. : Fizmatlit , 2005. - T. I. Mechanika. - S. 137-138. — 560 p. — ISBN 5-9221-0225-7 .
↑ Zhuravlev, 2001 , p. 71-72.
↑ Zhuravlev, 2001 , p. 71.

Irodalom

Gernet M. M. Elméleti mechanika tanfolyam. 5. kiadás - M . : Felsőiskola, 1987. - 344 p.
Zhuravlev VF Az elméleti mechanika alapjai. 2. kiadás - M. : Fizmatlit, 2001. - 320 p. — ISBN 5-94052-041-3 .