Willmore hipotézise

A Willmore-sejtés egy tórusz Willmore-energiájának alsó korlátja . A hipotézis Thomas Willmore angol matematikusról kapta a nevét , aki 1965-ben fogalmazta meg [1] . A sejtés bizonyítását Markish és Neves 2012-ben jelentették be, és 2014-ben publikálták [2] [3] .

Willmore Energy

Legyen egy kompakt orientált felület sima bemerülése . Legyen adott egy M sokaság és egy merítéssel generált Riemann-metrika . Legyen az átlagos görbület ( a κ 1 és κ 2 főgörbületek számtani átlaga minden pontban). Ebben a jelölésben az M sokaság Willmore-energiáját W ( M ) adjuk meg ${\displaystyle v:M\to \mathbb {R} ^{3))$ $v$ $H:M\to \mathbb {R}$

W(M)=\int _{M}H^{2}\,dA.

Nem nehéz bebizonyítani, hogy a Willmore-energia akkor és csak akkor elégíti ki az egyenlőtlenséget az egyenlőséggel, ha az M sokaság beágyazott gömb . $W(M)\geqslant 4\pi$

Nyilatkozat

A W ( M ) értékének kiszámítása számos példára azt sugallja, hogy jobb határnak kell lennie, mint a genussal rendelkező felületeknél . Különböző szimmetriájú tórusz W ( M ) kiszámítása vezette Willmore-t 1965-ben a következő sejtésre, amely ma az ő nevét viseli $W(M)\geqslant 4\pi$ $g(M)>0$

Bármely M tóruszra, amely simán belemerül az R3 - ba , az egyenlőtlenség érvényes .

{\displaystyle W(M)\geqslant 2\pi ^{2))

1982-ben Peter Lee és Yau Xingtong bebizonyította a sejtést a nem beágyazott esetben, bemutatva, hogy ha egy kompakt felület bemerülése, amely nem beágyazás, akkor W ( M ) legalább [4] . ${\displaystyle f:\Sigma \to S^{3))$ $8\pi$

2012-ben Fernando Koda Markish és André Neves bebizonyította a sejtést a beágyazott esetben a minimális felületek Almgren–Pitts minimax elméletével [2] [3] . Martin Schmidt 2002-ben bizonyítékot kért [5] , de a dolgozatot nem fogadták el egyetlen lektorált matematikai folyóiratban sem (bár a dolgozat nem tartalmazta Willmore sejtésének bizonyítékát, Schmidt bebizonyított néhány más fontos sejtést is). Markish és Neves bizonyítása előtt Willmore sejtése már számos speciális esetre bizonyítást nyert, mint például a csőszerű tórusz (maga Wilmore) és a forradalom tori (Langer és Singer által) [6] .

Jegyzetek

↑ Willmore, 1965 , p. 493–496.
↑ 2012. Morgan 12 .
↑ 1 2 Marques, Neves, 2014 , p. 683–782.
↑ Li, Yau, 1982 , p. 269-291.
↑ Schmidt, 2002 .
↑ Langer, Singer, 1984 , p. 531–534.

Irodalom

Thomas J. Willmore. Megjegyzés a beágyazott felületekre // Analele Ştiinţifice ale Universităţii "Al. I. Cuza" din Iaşi, Secţiunea I a Matematică. - 1965. - T. 11B .
Peter Li, Shing Tung Yau. Egy új konformális invariáns és alkalmazásai a Willmore-sejtésre és a kompakt felületek első sajátértékére // Inventiones Mathematicae . - 1982. - T. 69 , sz. 2 . - doi : 10.1007/BF01399507 .
Frank Morgan. A matematika megtalálja a legjobb fánkot // The Huffington Post . — 2012.
Fernando C. Marques, André Neves. A Min-max elmélet és a Willmore-sejtés // Annals of Mathematics . - 2014. - T. 179 . – S. 683–782 . - doi : 10.4007/annals.2014.179.2.6 . - arXiv : 1202.6036 .
Martin U Schmidt. A Willmore-sejtés bizonyítéka. - 2002. - arXiv : math/0203224 .
Joel Langer, David Singer. Görbék a hiperbolikus síkban és a tori átlagos görbülete 3 térben // The Bulletin of the London Mathematical Society. - 1984. - T. 16 , sz. 5 . – S. 531–534 . - doi : 10.1112/blms/16.5.531 .