André-Oort sejtése

Az André-Oort-sejtés számelméleti  probléma, amely általánosítja a Manin-Mumford sejtést . A sejtés kezdeti változatát Yves André terjesztette elő 1989-ben [1] , az általánosabb változatot pedig Frans Oort terjesztette elő 1995-ben [2] . A modern változat e két hipotézis általánosítása. A sejtésről előnyomat formájában van igazolás.

Nyilatkozat

A hipotézis modern formájában a következő. Legyen S egy Simura variáns , V pedig az S speciális pontjainak halmaza . Ekkor az V halmaz Zariski topológiájának irreducibilis komponensei speciális alváltozatok.

André sejtésének első változata egyszerűen az egydimenziós Simura-fajtákra vonatkozott, míg Oort azt javasolta, hogy működjön a főként polarizált g dimenziójú Abel-változatok modulitér-alváltozataival .

Részeredmények

Többek között Ben Moonen, Yves André, Andrey Yafaev, Bas Edikshoven, Lauren Clausel és Emmanuel Ullmo különböző eredményeket tűztek ki a teljes sejtés bizonyítása irányába. Ezen eredmények többsége arra utal, hogy az általánosított Riemann-hipotézis helyes. A legnagyobb eredmény, amely nem feltételezi, hogy a Riemann-hipotézis igaz, 2009-ben született, amikor Jonathan Pyla az o-minimális geometria és a transzcendentális számelmélet technikáját használta hogy bebizonyítson egy sejtést a moduláris görbék tetszőleges szorzatára [3] [4] , amiért 2011-ben agyagkutatási díjat kapott [5] .

Egy 2021 -es előnyomatban Jonathan Pila , Anant Shankar és Yakov Tsimerman bizonyítékot szolgáltatott az André-Oort sejtésre [6] .

Általánosítások

Ahogy az André-Oort hipotézis a Manin-Mumford hipotézis általánosításának tekinthető, úgy maga az André-Oort hipotézis is általánosítható. Általában Silbert-Pink általánosítását veszik figyelembe, amely egyesíti a Richard Pink [7] által javasolt André-Oort-sejtés általánosítását és Boris Zilber [8] [9] sejtését .

Jegyzetek

1. ↑ András, 1989 .
2. ↑ Oort, 1997 .
3. ↑ Pila, 2009 , p. 2476–2507.
4. ↑ Pila, 2011 , p. 1779–1840
5. ↑ A Clay Research Award weboldala Archivált : 2011. június 26.
6. ↑ Sloman, Leila matematikusok bizonyítják a 30 éves André-Oort  sejtést . Quanta Magazin (2022. február 3.). Letöltve: 2022. február 5. Az eredetiből archiválva : 2022. február 4..
7. ↑ Pink, 2005 , p. 251–282.
8. ↑ Zilber, 2002 , p. 27–44.
9. ↑ Remond, 2009 , p. 405–414.

Irodalom

• Yves Andre. G -függvények és geometria. - Vieweg, 1989. - T. E13. - (Matematika szempontjai).
• Frans Oort. Kanonikus emelések és CM-pontok sűrű halmazai // Aritmetikai geometria / Fabrizio Catanese. – Cambridge: Cambridge University Press, 1997.
• Jonathan Pila. André–Oort–Manin–Mumford típusú definiálható halmazok racionális pontjai és eredményei // Int. Math. Res. Nem. IMRN. - 2009. - 13. sz . – S. 2476–2507 .
• Jonathan Pila. Az O-minimalitás és az André–Oort-sejtés C n -re  // Annals of Mathematics . - 2011. - T. 173 . - S. 1779-1840 . - doi : 10.4007/annals.2011.173.3.11 .
• Richard Pink. Mordell–Lang és André–Oort sejtéseinek kombinációja // Geometriai módszerek az algebrában és a számelméletben. - Birkhauser, 2005. - T. 253. - S. 251-282. — (Előrehaladás a matematikában).
• Boris Zilber. Exponenciális összegek egyenletek és a Schanuel-sejtés // J. London Math. Szoc .. - 2002. - T. 65 , 2. sz . – 27–44 . - doi : 10.1112/S0024610701002861 .
• Gael Remond. Autour de la conjecture de Zilber-Pink  (francia)  // J. Théor. Nombres Bordeaux. - 2009. - T. 21 , 2. sz . – S. 405–414 . - doi : 10.5802/jtnb.677 .
• Zannier, Umberto. Az André–Oort-sejtésről // Valószínűtlen metszéspontok néhány problémája az aritmetikában és geometriában. — Princeton: Princeton University Press, 2012. — P. 96–127. - ISBN 978-0-691-15370-4 .