A lehetséges mozgások elve

A lehetséges elmozdulások elve az elméleti mechanika egyik variációs alapelve , amely egy mechanikai rendszer egyensúlyának általános feltételét határozza meg . Ezen elv szerint egy ideális kényszerű mechanikai rendszer egyensúlyához szükséges és elegendő, hogy a rendszer bármely lehetséges elmozdulására csak aktív erők virtuális munkáinak összege nullával egyenlő legyen (ha a rendszert ez a pozíció nulla sebességgel). $A_{i}$

Egy mechanikai rendszerre a lehetséges elmozdulások elve alapján összeállítható lineárisan független egyensúlyi egyenletek száma megegyezik ennek a mechanikai rendszernek a szabadságfokainak számával.

Egy nem szabad mechanikai rendszer lehetséges elmozdulásai képzeletbeli végtelenül kicsi elmozdulások, amelyeket egy adott pillanatban a rendszerre szabott kényszerek engednek meg (ebben az esetben a nem stacionárius kényszerek egyenleteiben kifejezetten szereplő időt fixnek tekintjük). A lehetséges elmozdulások derékszögű koordinátatengelyekre vetítését derékszögű koordináták variációinak nevezzük .

Ha például holonómikus reonómiai megszorításokat írnak elő a rendszerre: $l$

f_{{\alpha }}({\vec r},t)=0,\quad \alpha =\overline {1,l}

Ekkor a lehetséges elmozdulások azok, amelyek kielégítik $\Delta {\vec r}$

\sum _{{i=1}}^{{N}}{\frac {\partial f_{{\alpha }}}{\partial {\vec {r}}}}\cdot \Delta {\vec { r))+{\frac {\partial f_{{\alpha ))}{\partial t))\Delta t=0,\quad \alpha =\overline {1,l}

És a virtuálisak : $\delta {\vec r}$

\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial f_{\alpha )){\partial {\vec {r))))\delta {\vec {r))=0 ,\quad \alpha ={\overline {1,l))

A virtuális elmozdulásoknak általában semmi közük a rendszer mozgási folyamatához – csak azért vezetik be őket, hogy feltárják a rendszerben meglévő erőviszonyokat és egyensúlyi feltételeket kapjanak. Az elmozdulások kicsinyességére azért van szükség, hogy az ideális kötések reakcióit változatlannak lehessen tekinteni.

A virtuális elmozdulások elve

Ezen elv szerint: egy mechanikai rendszer egyensúlyához, amelynek pontjain stacionárius tartó ideális kötések vannak, szükséges és elegendő, hogy a rendszer pontjaira ható összes aktív erő virtuális munkájának összege, a rendszer bármilyen virtuális elmozdulása nullával egyenlő [1] . Feltételezzük, hogy a kötésreakciós erők (inaktívak) nem működnek a kötésidealitási posztulátum miatt. A virtuális elmozdulásokat végtelenül kicsiny elmozdulásoknak nevezzük, amelyeket a kapcsolatok lehetővé tesznek, „befagyott idővel”. Vagyis csak akkor térnek el a lehetséges elmozdulásoktól, ha a kötések reonómikusak (kifejezetten időfüggőek). Matematikailag ez így írható fel

\delta A=\sum _{i=1}^{n}{\textbf {F}}_{i}\cdot \delta {\textbf {r}}_{i}=0

Tekintsünk két, a B pontban csuklós, 2l hosszú rudat, amelyek egy r sugarú hengeren helyezkednek el (lásd 1. ábra). Számítsuk ki a z távolságot a φ általánosított koordináta függvényében [2]

z=AB-OB=l\cos {\phi }-{\frac {r}{\sin {\phi ))}\,

és a virtuális munkát a δ z variációból kapjuk

\delta A=2P\delta z=2P\left(-l\sin {\phi }+{\frac {r\cos {\phi }}{\sin ^{2}{\phi }}} \right)\delta \phi =0\,.

Ennek az egyenlőségnek minden lehetségesre érvényesnek kell lennie , amiből megkapjuk a szög meghatározására szolgáló egyenletet : $\delta \phi$ $\phi$

{\frac {r\cos {\phi }}{\sin ^{2}{\phi }}}-l\sin {\phi }=0\,.

Jegyzetek

↑ Belenky, 1964 , p. 31.
↑ Belenky, 1964 , p. 35.

Irodalom

Belenky I. M. Bevezetés az analitikus mechanikába. - M .: Magasabb. iskola, 1964. - 324 p.
Bukhgolts N. N. Az elméleti mechanika főtanfolyama. 1. rész 10. kiadás. - Szentpétervár. : Lan, 2009. - 480 p. - ISBN 978-5-8114-0926-6 .
Targ S. M. Az elméleti mechanika rövid kurzusa: Tankönyv egyetemeknek. 18. kiadás - M . : Felsőiskola, 2010. - 416 p. - ISBN 978-5-06-006193-2 .
Markeev A.P. Elméleti mechanika: tankönyv egyetemek számára. - Izhevsk: Kutatóközpont "Szabályos és kaotikus dinamika", 2001. - 592 p. — ISBN 5-93972-088-9 .