Súlymátrix

A matematikában egy súlyozott sorrendű mátrix olyan -mátrix , ahol a mátrix transzpozíciója , és a sorrend azonossági mátrixa . A súlymátrixot súlysémának is nevezik . $W$ $n$ $w$ $n\szer n$ $(0,1,-1)$ $WW^{T}=wI_{n}$ $W^{T}$ $W$ $Ban ben}$ $n$

A kényelem kedvéért a sorrend és a súly súlymátrixát gyakran jelölik . $n$ $w$ $W(n,w)$

$W(n,n-1)$ ekvivalens a konferencia mátrixszal és egyenértékű a Hadamard mátrixszal . $W(n,n)$

Tulajdonságok

Néhány tulajdonság közvetlenül következik a definícióból:

A súlymátrix sorai páronként merőlegesek. Hasonlóan az oszlopokhoz.
Minden sor és oszlop pontosan nem null elemeket tartalmaz. $w$
$W^{T}W=wI$ , mivel a definícióból következik (feltételezzük, hogy a súly nem egyenlő 0-val). ${\displaystyle W^{-1}=w^{-1}W^{T))$
${\displaystyle \mathrm {det} (W)=\pm w^{n/2))$ , ahol a mátrix determinánsa . $det(W)$ $W$

Két súlymátrixot egyenértékűnek tekintünk, ha az egyiket a másikból az eredeti mátrix sorainak és oszlopainak permutációi és szorzatai mínusz eggyel szorozzák. A súlymátrixok teljes körűen osztályozva vannak azokra az esetekre, amikor , valamint minden olyan esetre, amikor . [1] . Ezt leszámítva nagyon keveset tudunk a kör alakú súlymátrixok osztályozásáról . $w\leq 5$ $n\leq 15$

Példák

Vegye figyelembe, hogy súlymátrixok megjelenítésekor a −1 szimbólumot használjuk. $-$

Mondjunk két példát: egy súlymátrix (Hadamard-mátrix), és egy súlymátrix. $W_2$ $W(2,2)$ ${\displaystyle W_{7))$ $W(7,4)$

$W_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&-\end{pmatrix}}$
$W_{7}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0&0\\1&-&0&0&1&1&0\\1&0&-&0&-&0&1\\1&0&0&-&0&-&-\\0&1&-&0&0&-&-\\0&1&-&0&0&1&0 &-&1&0\end{pmatrix}}$

Nyitott kérdések

Sok nyitott kérdés van a súlymátrixokkal kapcsolatban. Ezek közül a legfontosabb a létezésük: milyen n és w számokra létezik W ( n , w )? Ebben a kérdésben sok minden ismeretlen. Ugyanilyen fontos, de gyakran feltáratlan kérdés, hogyan számoljuk meg őket: adott n és w , hány W ( n , w ) mátrix létezik? Mélyebben elgondolkodhatunk a szerkezeti osztályozáson, de ma ez messze meghaladja a képességeinket, még a Hadamard-mátrixok vagy a konferenciamátrixok esetében is.

Linkek

A Hotelling mérlegelési problémájáról , Alexander M. Mood, Ann. Math. stat. 17. kötet, 4. szám (1946), 432-446.

Jegyzetek

↑ M. Harada, A. Munemasa, A súlymérő mátrixok és önortogonális kódok osztályozásáról, 2011, http://arxiv.org/abs/1011.5382 Archivált 2022. január 21-én a Wayback Machine -nél .