Az univalens függvény variációja

Az univalens függvény variációja az univalens függvények elméletének fogalma .

A variáció meghatározásához vegyünk egy komplex változó univalens függvényét a sík valamely területén, és egy valós paramétertől függően , ahol , egy olyan függvénycsaládot, amelyek szintén univalensek minden rögzített esetén . Állítsa össze a különbséget , feltételezve, hogy . $F z)$ $z$ $D$ $\lambda$ $0\leqslant \lambda \leqslant \Lambda ,\;\Lambda >0$ $F(z,\;\lambda )$ $D$ $\lambda \in [0,\;\Lambda ]$ $F(z,\;\lambda )-F(z,\;0)\equiv \Phi (z,\;\lambda )$ $F(z,\;0)=f(z)$

Ekkor az univalens függvény családra vonatkoztatott harmadrendű variációja $n$ vagy variációja ( ) az at együttható a paraméterre vonatkozó bővítésben , feltéve, hogy a maradék tag $n$ $n=1,\;2,\;\ldots$ $F z)$ $F(z,\;\lambda )$ $q_{n}(z)$ $\lambda ^{n}$ $\Phi (z,\;\lambda )$ $\lambda$

\varphi _{n}(z,\;\lambda )=\Phi (z,\;\lambda )-q_{1}(z)\lambda -q_{2}(z)\lambda ^{ 2}-\ldots -q_{n}(z)\lambda ^{n}

kisebbségi sorrendje nagyobb , mint , egyenletesen viszonyítva akár a régióban , akár belül , akár a zárásban . Ezen további feltételek valamelyikének kiválasztását általában az a probléma határozza meg, amelynek vizsgálata során variációs módszereket alkalmaznak , amelyek egy univalens függvény variációjához kapcsolódnak. $\lambda ^{n}$ $z$ $D$ $D$ $D$

Először J. Hadamard [1] , majd M. A. Lavrentiev [2] végezte az univalens függvények elsőrendű variációinak számításait és alkalmazásait .

Az univalens függvények egy bizonyos osztályában a variációk megszerzése egy nagyon összetett független probléma lehet, amely e függvénycsaládok nemlinearitásával függ össze. A probléma csak néhány függvényosztály esetében oldódott meg az egyszerűen összefüggő és többszörösen összekapcsolt területeken [3] .

Irodalom

Goluzin, G. M. Egy komplex változó függvényeinek geometriai elmélete/ szerk. V. I. Szmirnova. - 2. kiadás —M.:Nauka, 1966. — 628 p.

Jegyzetek

↑ Hadamar J. Leçons sur le calcul des variations. — t. 1. - P., 1910.
↑ Lavrentiev M. A. Matematikai gyűjtemény. - 1938. - 4. v. (46). - 3. sz. - p. 391-458.
↑ Babenko K. I. A Szovjetunió Tudományos Akadémia Matematikai Intézetének közleményei. - M., 1972. - 101. v.