Fréchet variáció

A Fréchet-variáció több változóból álló függvény egyik numerikus jellemzője, amely egy változó függvénye variációjának többdimenziós analógjának tekinthető .

Definíció

A Fréchet - variáció a következőképpen definiálható:

F(f,\;D_{n})\,{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\sup _{\varepsilon }\,\sup _{\Pi }\left|\sum _{{r_{1}=0}}^{{l_{1}-1}}\sum _{{r_{2}=0}}^{{l_{2}-1}}\lpont \sum _{{r_{n}=0}}^{{l_{n}-1}}\varepsilon _{n}^{{(r_{1})}}\varepsilon _{n}^{{(r_ {2})}}\ldots \varepsilon _{n}^{{(r_{n})}}\times \right.

\times \Delta _{{h_{1}^{{(r_{1})}}h_{2}^{{(r_{2})}}\ldots h_{n}^{{(r_{n) })}}}}(f;\;x_{1}^{{(r_{1})}},\;x_{2}^{{(r_{2})}},\;\ldots , \;x_{n}^{{(r_{n})))){\Bigg |},

ahol egy -dimenziós dobozon definiált valós értékű függvény $f(x)=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})$ $n$ $D_{n}$

D_{n}=[a_{1},\;b_{1}]\times [a_{2},\;b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},\;b_{n }];

$\Pi$ a paralelepipedon tetszőleges felosztása hipersíkokkal úgy, hogy $D_{n}$ $x_{s}=x_{s}^{{(r_{s})}}$

x_{s}^{{(0)}}=a_{s}

, és ,

x_{s}^{{(l_{s})}}=b_{s}

x_{s}^{{(r_{s})}}<x_{s}^{{(r_{s}+1)}}

ahol ,. _

r_{s}=0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;l_{s}

s=1,\;2,\;\ldots ,\;n

$h_{s}^{{(r_{s})}}=x_{s}^{{(r_{s}+1)}}-x_{s}^{{(r_{s})}}$ - hasító lépés;

$\Delta _{{h_{k}}}(f,\;x)=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k}+h_{k}, \;\ldots ,\;x_{n})-f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k},\;\ldots ,\;x_{n} )$ ( ) a függvény növekménye a -edik koordináta mentén; $k=1,\;2,\;\ldots ,\;n$ $x_k$

$\Delta _{{h_{1}h_{2}\ldots h_{k}}}(f;\;x)=\Delta _{{h_{k}}}(\Delta _{{h_{1} h_{2}\ldots h_{{k-1}}}};\;x)$ a függvény általánosított növekménye az első koordinátákban ( ); $k$ $k=2,\;3,\;\ldots ,\;n$

$\varepsilon _{k}^{{(r_{k})}}=\pm 1$ ( ) önkényesen. $k=1,\;2,\;\ldots ,\;n$

Alkalmazás

Ha , akkor a függvényről azt mondjuk, hogy korlátos (véges) Fréchet-variációval rendelkezik . Az összes ilyen függvény osztályát jelöli . $F(f;\;D_{n})<\infty$ $f(x)$ $D_{n}$ $F(D_{n})$

Ezt az osztályt M. Fréchet [1] vezette be egy bilineáris folytonos függvény általános alakjának tanulmányozása kapcsán a négyzeten folytonos forma függvények terében . Bebizonyította, hogy minden ilyen funkcionális ábrázolható formában $n=2$ $U(\varphi _{1},\varphi _{2})$ $Q_{2}=[a,\;b]\times [a,\;b]$ $\varphi _{1}(x_{1})\varphi _{2}(x_{2})$

U(\varphi _{1},\;\varphi _{2})=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{a}^{b}\varphi _{1}( x_{1})\varphi _{2}(x_{2})\,d_{{x_{l}}}d_{{x_{2}}}u(x_{1},\;x_{2} ),

ahol ,. _ $u(x_{1},\;x_{2})\in F(Q_{2})$ $u(a,\;x_{2})\equiv u(x_{1},\;b)\equiv 0$

Később kiderült, hogy a ( ) osztály -periodikus függvényeire a Fourier-sorok [2] konvergenciájának számos klasszikus kritériumának analógjai érvényesek . Tehát például, ha , akkor a függvény Fourier-sorának négyszögletes részösszegei minden pontban a számhoz konvergálnak. $2\pi$ $f(Q_{n})$ $Q_{n}=[0,\;2\pi ]\times \ldots \times [0,\;2\pi ]$ $f(x)\in F(Q_{n})$ $n=2,\;3,\;\lpont$ $f(x)$ $x=(x_{1},\;x_{2},\ldots ,\;x_{n})$

{\frac {1}{2^{n))}\sum f(x_{1}\pm 0,\;x_{2}\pm 0,\;\ldots ,\;x_{n}\pm 0 ),

ahol az összegzés az összes lehetséges jelkombinációra kiterjed . Sőt, ha a függvény folytonos, akkor a konvergencia egyenletes. Ez a Jordán jel analógja . $2^{n}$ $\délután$

Irodalom

Kantorovich, L. V., Akilov, G. P. Funkcionális elemzés . - Szentpétervár. : BHV-Petersburg, 2004. - 816 p. — ISBN 5-94157-597-1 . .

Lásd még

Funkció variáció
Artzel variáció
Vitali variáció
Pierpont variáció
Tonelli lapos variációja
Hardy variáció

Jegyzetek

↑ Frechet M. Transactions of the American Mathematical Society. - 1915. - v. 16. - 3. sz. - p. 215-234.
↑ Morse M., Transue W. Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. - 1949. - v. 35. - 7. sz. - p. 395-399.