Atom (méréselmélet)

A mértékelméletben az atom a pozitív mértékek mérhető halmaza, amely nem tartalmaz egy kisebb pozitív mérték részhalmazát. Az atom nélküli mértéket atommentesnek nevezzük .

Definíció

Ha ezen a téren van mérhető tér és mérték , akkor a halmazát atomnak nevezzük , ha $(X,\Sigma )$ $\mu$ $A$ $\Sigma$

\mu (A)>0

és a halmaz bármely mérhető részhalmazára -tól $B$ $A$

\mu (A)>\mu (B)

ezt követi

\mu (B)=0.

Példák

Tekintsünk egy X = {1, 2, ..., 9, 10} halmazt, és legyen a szigma-algebra az X összes részhalmazának halmaza . Határozzuk meg egy halmaz mértékét a sokaságával , azaz a benne lévő elemek számával. Ekkor minden egypontos { i } részhalmaz i = 1, 2, ..., 9, 10 esetén egy atom. $\Sigma$ $\mu$
A Lebesgue-mérték a valódi vonalon atom nélküli.

Atommentes intézkedések

Az atomokat nem tartalmazó mértéket atommentesnek nevezzük . Más szavakkal, egy mérték atommentes, ha bármely c mérhető halmazhoz létezik az A halmaznak olyan mérhető B részhalmaza , $A$ $\mu (A)>0$

\mu (A)>\mu (B)>0.

A legalább egy pozitív értékű atom nélküli mértéknek végtelen sok különböző értéke van, mert A mértékkel rendelkező A halmazból kiindulva mérhető halmazok végtelen sorozatát alkothatjuk $\mu (A)>0$

A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots

oly módon, hogy

\mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.

Ez nem biztos, hogy igaz az atomokkal rendelkező mértékekre (lásd a fenti példát).

Valójában kiderül, hogy a nem atomi mértékek értékkontinuumokkal rendelkeznek. Bebizonyítható, hogy ha μ atom nélküli mérték és A mérhető halmaz, akkor bármely b valós számra , amely kielégíti a feltételt $\mu (A)>0,$

\mu (A)\geq b\geq 0

van az A halmaznak egy mérhető B részhalmaza úgy , hogy

\mu (B)=b.

Ezt a tételt Vaclav Sierpinski bizonyította . [1] [2] A folytonos függvények köztes érték tételére hasonlít .

Vázlat a Sierpinski-tétel bizonyítására nem atomi mértékekre. Használjunk egy kicsit erősebb állítást: ha van atom nélküli mérhető tér és , akkor létezik olyan függvény, amely meghatározza az S(t) mérhető halmazok egyparaméteres családját úgy, hogy mindenre $(X,\Sigma ,\mu )$ $\mu (X)=c$ $S:[0,c]\to \Sigma$ $0\leq t\leq t'\leq c$

S(t)\subset S(t'),

\mu \left(S(t)\right)=t.

A bizonyítás könnyen következik Zorn halmazra alkalmazott lemmájából

\Gamma :=\{S:D\to \Sigma \;:\;D\subset [0,\,c],\,S\;\mathrm {monotone} ,\forall t\in D\ ;(\mu \left(S(t)\right)=t)\},

grafikonok bevonásával rendezve. Ezen túlmenően szabványos módon látható, hogy minden láncnak van egy maximális eleme, és minden maximális elemnek van egy definíciós tartománya , ami bizonyítja az állítást. $\Gamma$ $\Gamma$ $[0,c]$

Lásd még

Dirac delta függvény
Elemi események , más néven atomesemények

Linkek

↑ W. Sierpinski. Sur les fonctions d'ensemble additives et folytatódik Archiválva : 2011. május 15., a Wayback Machine -nél . Fundamenta Mathematicae, 3:240-246, 1922.
↑ Fryszkowski, Andrzej. Fixpont-elmélet felbontható halmazokhoz (Topológiai fixpont elmélet és alkalmazásai ) . — Springer. - P. 39. - ISBN 1-4020-2498-3 .

Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judit B.; Thomson, Brian S. Valós elemzés . - Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall , 1997. - P. 108. - ISBN 0-13-458886-X .

Butnariu, Dan; Klement, EP Háromszög normaalapú intézkedések és játékok fuzzy koalíciókkal . - Dordrecht: Kluwer Academic , 1993. - 87. o . - ISBN 0-7923-2369-6 .