A mértékelméletben az atom a pozitív mértékek mérhető halmaza, amely nem tartalmaz egy kisebb pozitív mérték részhalmazát. Az atom nélküli mértéket atommentesnek nevezzük .
Ha ezen a téren van mérhető tér és mérték , akkor a halmazát atomnak nevezzük , ha
és a halmaz bármely mérhető részhalmazára -tól
ezt követi
Az atomokat nem tartalmazó mértéket atommentesnek nevezzük . Más szavakkal, egy mérték atommentes, ha bármely c mérhető halmazhoz létezik az A halmaznak olyan mérhető B részhalmaza ,
A legalább egy pozitív értékű atom nélküli mértéknek végtelen sok különböző értéke van, mert A mértékkel rendelkező A halmazból kiindulva mérhető halmazok végtelen sorozatát alkothatjuk
oly módon, hogy
Ez nem biztos, hogy igaz az atomokkal rendelkező mértékekre (lásd a fenti példát).
Valójában kiderül, hogy a nem atomi mértékek értékkontinuumokkal rendelkeznek. Bebizonyítható, hogy ha μ atom nélküli mérték és A mérhető halmaz, akkor bármely b valós számra , amely kielégíti a feltételt
van az A halmaznak egy mérhető B részhalmaza úgy , hogy
Ezt a tételt Vaclav Sierpinski bizonyította . [1] [2] A folytonos függvények köztes érték tételére hasonlít .
Vázlat a Sierpinski-tétel bizonyítására nem atomi mértékekre. Használjunk egy kicsit erősebb állítást: ha van atom nélküli mérhető tér és , akkor létezik olyan függvény, amely meghatározza az S(t) mérhető halmazok egyparaméteres családját úgy, hogy mindenre
A bizonyítás könnyen következik Zorn halmazra alkalmazott lemmájából
grafikonok bevonásával rendezve. Ezen túlmenően szabványos módon látható, hogy minden láncnak van egy maximális eleme, és minden maximális elemnek van egy definíciós tartománya , ami bizonyítja az állítást.