Aszimptota

Aszimptota , vagy aszimptota [1] ( más görög ἀσύμπτωτος - nem egybeeső, nem érinti a görbét végtelen ággal) - egyenes vonal , amelynek tulajdonsága, hogy a görbe pontja és az egyenes közötti távolság nullára hajlamos, ha a pontot eltávolítjuk az ág mentén a végtelenségig [2] . A kifejezés először Pergai Apolloniusnál jelent meg , bár a hiperbola aszimptotáit Archimedes tanulmányozta [3] .

Grafikonok aszimptotáinak típusai

Függőleges

Az űrlap egyenes vonala függőleges aszimptota, ha legalább az egyik egyenlőség teljesül: $x=a$

$\lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty$
$\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty$ .

Bármennyi függőleges aszimptota lehet.

A vonal nem lehet függőleges aszimptota, ha a függvény folytonos helyen . Ezért a függvény megszakítási pontjain függőleges aszimptotákat kell keresni. $a$

Vízszintes és ferde

A ferde aszimptota az alak egyenes vonala , ha legalább az egyik egyenlőség teljesül: $y=kx+b$

$\lim _{x\to +\infty }(f(x)-kx)=b$
$\lim _{x\to -\infty }(f(x)-kx)=b$ .

Sőt, ha az első feltétel teljesül, akkor azt mondják, hogy ez a sor aszimptota a -nál , és ha a második, akkor aszimptota a [4] -nél . $x \to + \infty$ $x \to - \infty$

Ha , akkor az aszimptotát vízszintesnek is nevezik . $k=0$

1. megjegyzés: Egy függvény ferde aszimptotáinak száma nem lehet több kettőnél: egy a -ra és egy a -ra , de lehet egy vagy egy sem. $x \to + \infty$ $x \to - \infty$

2. megjegyzés: Egyes források azt a követelményt tartalmazzák, hogy a görbe ne metszi ezt az egyenest a végtelen közelében [5] .

3. megjegyzés: Egyes esetekben, például az algebrai geometriában, az aszimptotát olyan egyenesként határozzák meg, amely "érintő" a görbére a végtelenben [5] .

Aszimptoták keresése

Az aszimptoták keresésének sorrendje

Megszakítási pontok keresése, pontok kiválasztása, ahol függőleges aszimptota van (közvetlen ellenőrzéssel, hogy a határ ebben a pontban a végtelen).
Annak ellenőrzése, hogy a határértékek és nem végesek -e . Ha igen, akkor van egy vízszintes aszimptota a és ill. $\lim _{x\to +\infty }f(x)=b$ $\lim _{x\to -\infty }f(x)=b$ $y=b$ $+\infty$ $-\infty$
Két határ megtalálása $\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k$
Ha két határértéket találunk , ha a 3. vagy 4. bekezdésben legalább az egyik határérték nem létezik (vagy egyenlő -val), akkor a (vagy ) pontban lévő ferde aszimptóta nem létezik. $\lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b$ $\pm\infty$ $x \to + \infty$ $x \to - \infty$

Ferde aszimptota - az egész rész kiválasztása

A ferde aszimptotát is megtalálhatjuk az egész rész kinyerésével. Például:

Adott egy függvény . $f(x)={\frac {2x^{3}+5x^{2}+1}{x^{2}+1))$

A számlálót a nevezővel elosztva a következőt kapjuk : $f(x)=2x+5+{\frac {-2x-4}{x^{2}+1}}=2x+5+(-2)\cdot {\frac {x+2} {x^{2}+1}}$

, , _ $x\to \pm \infty$ $\frac{x+2}{x^2+1} \0-ra$

és a kívánt ferde aszimptota egyenlet, és mindkét oldalon. $y=2x+5$

Tulajdonságok

A kúpszelvények közül csak a hiperboláknak van aszimptotájuk . A hiperbola, mint kúpszelet aszimptotái párhuzamosak a kúp szekánssíkkal párhuzamos csúcsán átmenő síkban fekvő kúp generátoraival [6] . A hiperbola aszimptotái közötti maximális szög egy adott kúp esetén egyenlő a kúp nyitási szögével, és a kúp tengelyével párhuzamos metszősíkkal érhető el.

Lásd még

Aszimptotikus görbe

Jegyzetek

↑ A szovjet enciklopédikus szótárban a kettős stressz szerepel. A 19. és a 20. század első felének szótáraiban (például a könyvben: Idegen szavak szótára / Szerk.: I.V. Lyokhin és Prof. F.N. Petrov. - M . : State Publishing House of Foreign and National. dictionaries, 1955. - 77. - 856. o. ), a stressz "aszimptota" egyetlen változatát jelölték meg.
↑ Matematikai enciklopédia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 1.
↑ Matematikai enciklopédikus szótár Archív példány , 2013. augusztus 1-jén a Wayback Machine -nél - M . : Soviet Encyclopedia, 1988. - 847 p.
↑ Kudrjavcev L. D. A matematikai elemzés tanfolyama. - 5. kiadás - M . : "Business Bustard", 2003. - T. 1. - S. 374-375. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .
↑ 1 2 "Aszimptoták" Louis A. Talmantól
↑ Taylor C. Geometrical Conics; Beleértve az anharmonikus arányt és a vetítést, számos példával . - Cambridge: Macmillan , 1863. - 170. o.

Irodalom

Rashevsky P.K. Differenciálgeometria tanfolyam, 4. kiadás. M., 1956.
Graphs of Functions: A Handbook / Virchenko N. A., Lyashko I. I., Shvetsov K. I. - Kijev: Nauk. Dumka, 1979, - 320 p.

Linkek

Aszimptota // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.
Aszimptota / E. G. Poznyak // Angola - Barzas. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1970. - ( Great Soviet Encyclopedia : [30 kötetben] / főszerkesztő A. M. Prohorov ; 1969-1978, 2. köt.).