Birkhoff-Khinchin Ergodic Tétel

A Birkhoff-Khinchin ergodikus tétel kimondja, hogy egy mértékmegőrző dinamikai rendszer és egy, a térben ezzel a mértékkel integrálható függvény esetén szinte minden kezdeti pontra a hozzájuk tartozó időátlagok konvergálnak. Sőt, ha az invariáns mérték ergodikus , akkor szinte minden kezdőpontra ugyanaz a határérték - a függvény integrálja az adott mérték felett. Ez az elv úgy van megfogalmazva, hogy „az időbeli átlag szinte minden kezdeti pontra egyenlő a térbelivel” [1] .

Megfogalmazás

Legyen mértékmegőrző leképezés, és legyen a függvény integrálható -ra vonatkoztatva . Ekkor az időátlagok valamilyen invariáns függvényhez konvergálnak : $f\kettőspont X\X-re$ $\mu$ $\varphi$ $x$ $\mu$ $\varphi _{n}(x):={\frac {1}{n}}\sum _{{j=0}}^{{n-1}}\varphi (f^{j}(x) )$ ${\bar {\varphi ))$

\varphi _{n}(x):={\frac {1}{n}}\sum _{{j=0}}^{{n-1}}\varphi (f^{j}(x) ){\xrightarrow[ {n\to \infty }]{}}{\bar {\varphi }}(x),

sőt, a konvergencia a mértékben és szinte mindenhol megtörténik . $L_{1}(X,\;\mu )$ $\mu$

Összefüggés a nagy számok törvényével

A nagy számok erős törvénye Kolmogorov alakban a Birkhoff-Khinchin tétel következményeként érhető el. Ugyanis mivel világos, hogy az eredmény nem függ a valószínűségi változók konkrét megvalósításától, feltételezhetjük, hogy a valószínűségi tér alakja

\Omega =\mathbb{R} ^{\mathbb{N} }=\{\omega =(\omega _{1},\;\omega _{2},\;\ldots )\}

mértékkel , és a valószínűségi változók a következőképpen vannak elrendezve (a mérőszám bármelyik értékének eloszlását adja meg ). Ekkor a mérték ergodikus a bal eltolódás, az azt megőrző átalakulás tekintetében $P=\mu ^{\mathbb{N} }$ $\xi _{n}(\omega )=\omega _{n}$ $\mu$ $\xi _{n}$ $P$

T\colon (\omega _{1},\;\omega _{2},\;\ldots )\mapsto (\omega _{2},\;\omega _{3},\;\ldots ).

Másrészt a függvény integrálható , és . Ezért a Cesaro-átlagok felírhatók időátlagként egy dinamikus rendszerhez : $\varphi =\xi _{1}$ $P$ $\xi _{n}=\varphi \circ T^{{n-1}}$ $(\xi _{1}+\ldots +\xi _{n})/n$ $(\Omega ,\;P,\;T)$

{\frac {1}{n}}(\xi _{1}(\omega )+\ldots +\xi _{n}(\omega ))={\frac {1}{n}}\sum _ {{j=0}}^{{n-1}}\varphi \circ T^{j}(\omega ).

Ezért a Birkhoff-Khinchin tétel alapján szinte biztos , hogy

{\frac {1}{n}}(\xi _{1}(\omega )+\ldots +\xi _{n}(\omega ))={\frac {1}{n}}\sum _ {{j=0}}^{{n-1}}\varphi \circ T^{j}(\omega ){\xrightarrow[ {n\to \infty }]{}}\int _{\Omega } \varphi \,dP=\int _{\mathbb{R} }x\,d\mu (x)={\mathbb {E}}\xi _{1}.

Ez a következtetés a nagy számok erős törvényéből.

Jegyzetek

↑ Nemlineáris dinamika és káosz, 2011 , p. 177.

Irodalom

Katok A. B. , Hasselblat B. Bevezetés a dinamikus rendszerek modern elméletébe a legújabb vívmányok áttekintésével / Per. angolról. szerk. A. S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 p. — ISBN 5-94057-063-1 .
Malinetsky G. G. , Potapov A. B. Nemlineáris dinamika és káosz: alapfogalmak. - M. : Librokom, 2011. - 240 p. - ISBN 978-5-397-01583-7 .