Kiállító Artin - Hasse

A matematikában az Emil Artinról és Helmut Hasse - ról elnevezett Artin-Hasse kitevő az alak hatványsora .

E_p(x) = \exp\left(x + \frac{x^p}{p} + \frac{x^{p^2}}{p^2} + \frac{x^{p^3} }{p^3} +\cdots\right).

Motiváció

A közönséges kitevőtől eltérően az Artin-Hasse kitevő kiterjesztésének együtthatói p -egészek, vagyis nevezőik nem oszthatók p -vel . Ez Dwork lemmájából (Dwork) következik, amely kimondja, hogy egy f ( x ) = 1 + … hatványsor racionális együtthatókkal akkor és csak akkor rendelkezik p -egész együtthatókkal, ha f ( x p )/ f ( x ) p ≡ 1 mod p .

A Möbius inverzió használatával végtelen szorzatként írható át $E_p(x)$

E_{p}(x)=\prod _{(p,n)=1}(1-x^{n})^{-\mu (n)/n}.

Itt μ a Möbius függvény .

Kombinatorikus értelmezés

Az Artin-Hasse kitevő annak a valószínűségének generáló függvénye , hogy S n egy véletlenszerűen kiválasztott eleme ( egy n elemű szimmetrikus csoport ) a p hatvány nagyságrendű (ezt a számot t n -ként jelöljük ):

E_p(x)=\sum_{n\ge 0} \frac{t_n}{n!}x^n

Vegyük észre, hogy ez újabb bizonyítékot ad az együtthatók p -integritására, hiszen egy d -vel osztható rendű véges csoportban a d -vel osztható rendű elemek száma is osztható d -vel .

David Roberts természetes kombinatorikus kapcsolatot mutatott ki az Artin-Hasse kitevő és a közönséges kitevő között az ergodikus elmélet tükrében, bizonyítva, hogy az Artin-Hasse kitevő egy szimmetrikus csoportelem unipotenciájának valószínűségének generáló függvénye a p karakterisztikában . . A normál kitevő annak valószínűségét adja meg, hogy egy elem ugyanabban a csoportban unipotens a 0 karakterisztikában.

Hipotézisek

Egy 2002 -es PROMYS kurzusban Keith Conrad úgy sejtette, hogy az együtthatók egyenletesen oszlanak el p-adikus számokban a normalizált Haar-mértékhez képest, mivel ez összhangban van számításaival. Ez a hipotézis nyitott marad. $E_{p}(x)$

Dinesh Thakur felvetette a problémát, hogy az Artin-Hasse kitevő transzcendentális-e . $\mathbb{F}_p[x]$

A függvény különböző viszonylag egyszerű tulajdonságai szintén nem definiáltak, beleértve azt a kérdést, hogy a közönséges kitevőre igaz-e a funkcionális egyenlőség . $E_p(a)^b=E_p(ab)$

Lásd még

Witt vektor
Formális csoport

Linkek

Alain M. Robert. A p-adikus elemzés tanfolyam. - New York, Berlin, Heidelberg: Springer, 2000. - T. 198. - (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-98669-3 .
Koblitz N. p-adikus számok, p-adikus analízis és zéta függvények. - Moszkva: Mir, 1982.
Dinesh S. Thakur. Automata módszerek a transzcendenciában.
Ivan B. Fesenko, Szergej V. Vosztokov. Helyi mezők és kiterjesztéseik // Második. - Providence, RI: American Mathematical Society , 2002. - 121. kötet . - ISBN 978-0-8218-3259-2 .