Központi erők és területeik

A centrális erő olyan erő, amelynek hatásvonala a test bármely helyzetében, amelyre kifejtik, átmegy az erőközéppontnak nevezett ponton (pont az 1. ábrán) [1] . $K$

Példák a központi erőkre a gravitációs és Coulomb -erők, amelyek a ponttömegeket vagy ponttöltéseket összekötő vonal mentén irányulnak .

A centrális erők bevezetésének legegyszerűbb módja véges számú objektumból álló fizikai rendszerek, amelyek mérete elhanyagolható (anyagi pontok), vagy esetenként néhány ekvivalens, amely rögzített belső szerkezetű kiterjesztett objektumokból áll [2] . Az elosztott rendszerek, amelyekben központi erők hatnak, általános esetben [3] , nem ábrázolhatók véges számú anyagi ponttal. Az elosztott rendszerek esetében az általános megközelítés az, hogy nagyon nagy (a határértékben végtelen) számú, kis (nullára hajló határban) méretű elemre bontják őket (melyek anyagi pontoknak számítanak), amelyek között a központi erők a fent megadott definíció szerint működnek . Tehát ebben az esetben minden elemi erő valójában központi, és a valódi erő az ilyen elemi erők összege (szuperpozíciója).

A klasszikus fizika a központi erőtér fogalmát is bevezeti a háromdimenziós tér azon régiójára, amelyben központi erők hatnak. [négy]

Bármely központi erő esetén a reláció $\vec F$ ${\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}=0,$

(ahol M az erőnyomaték, a sugárvektor, amelynek origója az erő középpontjában van), jelezve, hogy az erőnyomaték az erőközépponthoz viszonyítva nullával egyenlő: ${\vec {r))$

Kényszermezők

Ezek a mezők a Coulomb-erőknek (az elektrosztatikus kölcsönhatás erői) és a gravitációs erőknek (az egyetemes gravitációs erőknek) felelnek meg. Közöttük a hasonlóság abban rejlik, hogy anyagi tárgyak kölcsönhatása során észlelhetők, és a gravitáció esetében ezt a kölcsönhatást meghatározó tulajdonság a tömeg, Coulomb-kölcsönhatás esetén pedig az általuk hordozott töltés. ezt a tömeget. A tömeghez nem kapcsolódó töltések a klasszikus fizika számára ismeretlenek.

A központi erőtér intenzitását jellemző érték a pontforrást és a mező meghatározott pontját összekötő egyenes mentén irányított vektor.

Potenciális központi mezők

A központi erő munkája

Az erő elemi munkája , beleértve a centrális erőt is, egy skaláris mennyiség, amelyet az erő alkalmazási pontjának elmozdulásakor (általános esetben a nagyságának és irányának megváltoztatásával) az energia változásaként számítanak ki, amikor ilyen kicsire mozog. pályájának szegmense, hogy a rajta lévő erővektor változatlannak tekinthető, azaz olyan távolságban : $dA$ $\vec F$ ${\vec {d}}r$

$dA={\vec {F}}{\vec {d}}r=F\cos \alpha dr$ (5)

hol van a szög ezen vektorok között. Mivel , akkor a szögleolvasás iránya nem számít. $\alpha$ $\cos \alpha =\cos(-\alpha )$

Ha távolságot mozgat a -tól -ig , a teljes út elemi szakaszokra osztható. És akkor a teljes munka ezeknek az elemi munkáknak az összege lesz, minél nagyobb pontossággal, minél több szakaszra oszlanak el a pályák, amit az integráljellel fejezünk ki, mint ennek az összegnek a határát: ${\displaystyle r_{1))$ ${\displaystyle r_{2))$ $én$ $A$ $n$

$A=\lim \sum _{i=1}^{n}{F_{i}}\cos _{i}\alpha _{i}\ dr_{i}=\int \limits _{r_ {1}}^{r_{2}}{\vec {F}}_{r}d{\vec {r}}(6)$

Figyelembe véve a derékszögű koordinátarendszerben való mozgást, a központi erő a koordinátatengelyekre vetített vetületeinek geometriai összegeként ábrázolható:

${\vec {F}}={\vec {F}}_{x}+{\vec {F}}_{y}+{\vec {F}}_{z}=F_{x }{\vec {i}}+F_{y}{\vec {j}}+F_{z}{\vec {k}}(7)$

ahol , , a tengelyeik egységvektorai ( orts ). ${\vec i}$ $\vec j$ ${\vec k}$

Mezőpotenciál

Nem minden erőtérnél, az általa végzett munka csak a kezdeti és a végső mozgáspont helyzetétől függ. Más szóval, nem függ az út alakjától.

Az említett integrál csak akkor fog függeni az útvonal formájától, ha van valamilyen antiderivatív függvény , amelynek teljes differenciájának kifejezésében: $U$

dU={\frac {\partial U}{\partial x}}dx+{\frac {\partial U}{\partial y}}dy+{\frac {\partial U}{\partial z}}dz (nyolc)

részleges származékai az erőkivetítéseknek felelnek meg (a meglévő konvencionális megállapodás szerint - előjelig):

dU=-F_{x}dx-F_{y}dy-F_{z}dz(9)

Ebben az esetben a függvényt potenciálfüggvénynek , az erőteret pedig potenciálmezőnek nevezzük . [5] $U$

De ez csak akkor válik lehetségessé, ha az egyenlőségek egyidejűleg teljesülnek:

${\frac {\partial F_{y)){\partial z))={\frac {\partial F_{z)){\partial y));{\frac {\partial F_{z))) {\partial x))={\frac {\partial F_{x)){\partial z));{\frac {\partial F_{x)){\partial y))={\frac {\partial F_ {y}}{\partial x}}(10)$

A központi erők esetében ez a feltétel teljesül. Azt a mezőt, amelyben ezek a feltételek teljesülnek, irrotációs mezőnek nevezzük . Ezért a potenciális mezők irrotációs mezők. [5]

A mínuszjelet a potenciálfüggvényt és az erőt összekötő képletben az a vágy határozza meg, hogy a potenciálfüggvényt a potenciális energiával azonosítsuk [6] (egyébként nélkülözni is lehetne a mínuszjelet, ami néha pusztán formálisan történik, amikor bevezetünk egy potenciálfüggvény, különösen olyan vektormező esetében, amely nem rendelkezik erőjelleggel).

A potenciális energiával való kommunikáció természetesen munka útján történik.

Természetesnek tűnik azt feltételezni, hogy a térerősség-vektor a tér forrásától irányul (amit általában elfogadnak az elektrosztatikus tér leírásánál az azonos nevű töltések kölcsönhatásában [7] ) Ezután rögzítünk egy pontot, amely egy távolságot a központi töltéstől és szabadságot adunk neki, akkor azt kapjuk, hogy erő alatt a végtelenbe fog mozdulni. Ebben az esetben a mező által végzett munka egyenlő lesz: ${\displaystyle r_{1))$

$A_{r_{1}}=\int \limits _{r_{1}}^{\mathcal {1}}{\vec {F}}_{r}d{\vec {r}}( tizenegy)$ .

Ugyanez mondható el, ha a mező tovább mozgatta a testet , és ennek következtében több munkát végzett, és ezért a pontok közötti útvonalon a munkakülönbség nagyobb, mint nulla. ${\displaystyle r_{2}>r_{1))$

És ezek a munkák egy állandó pontpotenciálra hívhatók : és , ami a potenciálon azt a képességet jelenti, hogy egy közelebbi pontnál magasabb, mint egy távolabbi pontnál magasabb. ${\displaystyle U_{l1))$ ${\displaystyle U_{l2))$

Ekkor a mező által végzett munka egyenlő lesz a mínusz előjellel vett potenciálkülönbséggel

$A=\int \limits _{r_{1}}^{r_{2}}{\vec {F}}_{r}d{\vec {r}}=U_{l1}-U_{ l2}=-\Delta U(12)$

Így a kiindulási ponttól a végpontig tartó úton az erő munkája megegyezik a potenciálfüggvény változásával, amely a távolság skaláris függvénye. Ebben az esetben az út minden pontjához lehetőség van egy állandó értékig saját potenciált hozzárendelni : $U$

Mező potenciál gradiensként

A centrális erő mezőjében egy adott tengely mentén komponense a potenciálfüggvény azonos tengely mentén történő változási sebessége vagy a függvény adott irányú gradiense .

A potenciálfüggvény tetszőleges irányú változásának leírására a térelméletben egy vektor-differenciál operátort vezetünk be, amelynek alakja :

\nabla \equiv {\frac {\partial }{\partial x}}{\vec {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\vec {j}}+{ \frac {\partial }{\partial z}}{\vec {k}}(13)

Ezt az operátort a potenciálfüggvényre alkalmazva azt kapjuk, hogy a mező adott pontjában az erő (előjelig) a potenciál gradiense:

{\vec {F}}=F_{x}{\vec {i}}+F_{y}{\vec {j}}+F_{z}{\vec {k}}={\vec {F}}_{x}+{\vec {F}}_{y}+{\vec {F}}_{z}=-\nabla U\equiv -\mathbf {grad} U(14).

A mínuszjel, amely a szokásos megegyezés szerint jelen van ebben a képletben, abból adódik, hogy az U függvény azonosítható a potenciális energiával (bár pusztán formálisan a potenciálfüggvény választható más előjellel is, ha egy ilyen azonosítás nem feltételezhető).

Coulomb mező

A Coulomb-mező intenzitását a következő vektor határozza meg : ${\vec E}$

${\vec {E}}=C_{Q}{\frac {Q{\vec {r}}}{r^{3}}}(15)$

vagy áttérve a skaláris jelölésre:

$E=C_{Q}{\frac {Q}{r^{2))}(16)$

Itt ; - a test töltése - az erő forrása; , a távolság attól a ponttól, ahol az intenzitás meghatározásra kerül, és az állandó annak a közegnek a dielektromos állandójától függ (1-gyel egyenlő üres tér esetén), amelyben a mező létezik: $E=\lVert {\vec {E}}\rVert$ $K$ $r=\lVert {\vec {r}}\rVert$ $C_{Q}$ $\varepsilon$

${\displaystyle C_{Q}={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0))))$ , ahol:

$\varepsilon _{0}$ a vákuum dielektromos állandója. Ebben az esetben vákuumra

${\displaystyle C_{Q}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0))))$ = Vm/As a Nemzetközi Mértékegységrendszerben [8] , $10^{10}$

Coulomb-erők

A Coulomb-mező hatásának tárgya egy töltést hordozó anyagi test $q$

Ebben az esetben elektromos eredetű mechanikai (newtoni) erő hat rá, amely egyenlő a töltés nagyságának és a térerősség szorzatával:

vagy figyelembe véve ():

${\vec {F}}_{q}=C_{Q}{\frac {qQ{\vec {r}}}{r^{3}}}(17)$ vagy skaláris ábrázolásban:

$F_{q}=C_{Q}{\frac {qQ}{r^{2}}}(18)$

A Coulomb-mező sajátossága, hogy intenzitásának vektora vagy a mező forrásából irányul a forrás és a kölcsönhatás tárgyának töltése előjelének egybeesése esetén, vagy a forrás felé irányul. ellentétes töltések esetén. Ez azt jelenti, hogy a töltött anyagi testek az első esetben taszító erőt fognak érezni, ellenkező esetben pedig olyan erőt, amely közelebb hozza őket.

A Coulomb-mező másik tulajdonsága az a technikai lehetőség, hogy kiválasszon egy olyan területet, amelyben a szükséges mértékben hiányzik ( Faraday ketrec ).

Gravitációs mező

Az orosz nyelvű irodalomban a gravitációs mező intenzitását "szabadesés gyorsulásnak" nevezik , külföldön pedig néha a gravitációs mező intenzitásának. ${\vec {g))$

${\vec {g}}=G{\frac {M{\vec {r}}}{r^{3}}}(19)$

Vagy skaláris jelölésre váltva: $g=G{\frac {M}{r^{2}}}(20)$

Itt ; a test tömege - a gravitáció forrása; az intenzitás meghatározásának pontjának távolsága, az állandó pedig a gravitációs állandó, amely a modern adatok szerint , [9] $g=\lVert {\vec {g}}\rVert$ $M$ $r=\lVert {\vec {r}}\rVert$ $G$ $G=6,6742*10^{-11}{\frac {m^{3}}{kg*s^{2}}}$

A gravitációs erők

A gravitációs tér hatásának tárgya egy tömegű anyagi test $m$

Ebben az esetben a testtömeg és a térerő szorzatával megegyező mechanikai erő hat rá . Lényeges, hogy ne legyen nagyságrendi különbség a Newton második törvényében szereplő tömeg és a gravitációnak kitett ugyanazon test tömege között. Akkor figyelembe véve (): $m$

${\vec {F}}_{g}=m{\vec {g}}(21)$

vagy skaláris ábrázolásban:

$F_{g}=mg\ (22)$

A gravitációs erők sajátossága, hogy mindig vonzási erők. Ráadásul a gravitációs erők mindent átjárnak, és semmilyen pajzs sem tud ellenük védekezni. Ez a tulajdonság egyesíti a gravitációs erőket a fiktív tehetetlenségi erőkkel, amelyek bármely nem inerciális vonatkoztatási rendszerben léteznek. Egy ilyen analógia a tér alapvető tulajdonságain alapul, amelyek tanulmányozása túlmutat a klasszikus fizika keretein. [tíz]

Gravitációs térpotenciál

A (6)-ban behelyettesítve az univerzális gravitációs erő értékét a (20)-ból, azt a tényt figyelembe véve kapjuk, hogy a munka a mező ellenében történt:

$A=-GmM\int \limits _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {\vec {r}}{r^{3}}}d{\vec {r} }=-GmM\left({\frac {1}{r_{2}}}-{\frac {1}{r_{1}}}\right)=U_{2}-U_{1}$ (23)

Így a gravitációs mező minden pontjához egy állandóig hozzá lehet rendelni a saját potenciálját, így:

$U_{r}=-GmM\left({\frac {1}{r}}\right)$ [11] (24)

Mozgás központi erő hatására

Általános esetben egy test bármely, anyagi pontnak tekintett pályája ábrázolható térbeli görbeként, amely különböző síkokban konjugált fordulatokból áll pillanatnyi fordulatközéppontok körül , ugyanazon az ábrán eltérő fordulási sugárral . Megvan. $r_{c}$

De a pálya görbülete egyáltalán nem jelenti azt, hogy egy bizonyos erő hat a testre, ami minden pillanatban centripetális erő.

Megjegyzés

Az utolsó mondat nagyon fontos. Így például egy földi megfigyelő számára egy egyenletesen és egyenes vonalban repülő repülőgépről ledobott bomba egy parabola mentén mozog. De a pilóta számára ebben az esetben függőlegesen esik az egyetlen gravitációs erő hatására (ha nem veszi figyelembe a légellenállás miatti sodródást). Itt nincsenek olyan erők, amelyek a pálya görbületét okozzák. A centrális erők nem azért keletkeznek, mert a pálya görbült, hanem azért, mert egy mozgó tárgy és a környezet közötti tényleges erőkölcsönhatás kifejezése.

Úgy tartják, hogy az erőközpontban van egy erőforrás, amely lehet gravitációs tömeg, vagy elektromos töltés, ha az adott erő a megfelelő erőtér jellemzője. Az erőközéppont általában nem esik egybe a pillanatnyi forgásközépponttal – ez a pont az ábrán. Ez az egybeesés csak akkor következik be, ha a test körív mentén forog. [négy] $C$

Amint az 1. ábrán látható, az egyetlen erő, amely a testek között hat, és két komponensre bontható: ( 2) $\alpha$ $K$ ${\vec {F}}$ ${\vec {F}}={\vec {F}}_{t}+{\vec {F}}_{n}$

Ebben az esetben tangenciális erő lép fel, amely attól függ, hogy az ábrán a test a pályája mentén halad, vagy lassítja, vagy gyorsítja a mozgást. ${\vec {F}}_{t}$

${\vec {F}}_{n}$ egy olyan erő, amely a pillanatnyi középpont felé tartó pálya érintőjének normál mentén irányul, és ezért centripetális erő. [12]

Az erőnyomaték és az impulzusnyomaték (moment of momentum) fogalmak definíciójából közvetlenül következik az a kísérletileg igazolt tény, hogy a forgó test impulzusimpulzusának változási sebessége egyenesen arányos az alkalmazott erőnyomaték nagyságával. a testhez : ${\vec L}$ ${\vec M}$

${\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\vec {M}}(3)$

A centrális erő mezejében azonban nyomatéka mindig nullával egyenlő ((1) képlet). Ebből egyenesen következik, hogy a test bármely mozgásánál a központi erőtérben a mozgás hatására mozgó test szögimpulzusa állandó marad:

${\vec {L}}=const(4)$ . De mivel a vektor állandósága egyben irányának megőrzése is a térben, a test mozgása során felsöpört terület mindig ugyanabban a síkban fekszik. Ebből az következik, hogy a test bármely mozgási pályája központi erő hatására lapos görbe.

A testek gravitációs térben történő mozgását leggyakrabban az égi mechanika területén tanulmányozzák, ahol a gravitációs hatások dominálnak, ezért a vizsgált kölcsönható erők rendszere konzervatív rendszernek tekinthető, vagyis olyannak, amelyben a teljes a test energiája a potenciális és a mozgási energia összegeként megmarad. [négy]

${\displaystyle E=W_{k}+W_{p))$ (25), ahol:

$W_{k}={\frac {m}{2}}(v_{n}^{2}+v_{t}^{2})(26)$ és megfelelnek a testre ható erő normál és érintőleges összetevői által létrehozott sebességeknek az 1. ábrán. $v_{n}$ ${\displaystyle v_{t))$

A kinetikus nyomaték definíciójával: megkapjuk a tangenciális mozgás kinetikus energiájára vonatkozó összefüggést: ${\displaystyle L=mrv_{t))$

$W_{k}(t)={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}(27)$ .

És a normál pálya mentén történő mozgáshoz: $W_{k}(n)={\frac {mv_{n}^{2}}{2}}(28)$

$W_{p}={\frac {GmM}{r}}(29)$

Ekkor a test teljes energiájának kifejezése így fog kinézni:

$E={\frac {mv_{n}^{2}}{2}}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r }}(harminc)$

Figyelembe véve a hatékony potenciált : $U^{*}$

$U^{*}={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r}}(31)$

Lehetőséget kapunk arra, hogy a testpálya sugárvektorának hosszának változási tartományát összekapcsoljuk az általa tárolt energiával, amit a 2. ábra [13] mutat.

Tehát a mozgó test minimális energiájával a test körpályán mozog egy sugarú pályán $E_{3}$ $r_{0}$

Ha a test mozgási energiája nagyobb, mondjuk , akkor a test pályája egy ellipszis lesz, egy kisebb és egy nagy féltengelyűvel . $E_2$ $r_{a}$ $r_{b}$

Végül a test energiájával szétszóródnak, megközelítve a minimális távolságot $E_1$ $r_{s}$

Jegyzetek

↑ Központi erő // Fizikai enciklopédia / Ch. szerk. A. M. Prohorov . - M .: Nagy Orosz Enciklopédia , 1998. - T. 5. - S. 425-426. — 760 p. — ISBN 5-85270-101-7 .
↑ Ez gömbszimmetrikus objektumokra vonatkozik (vagy olyan objektumokra, amelyek elég kevéssé különböznek a gömbszimmetrikustól ahhoz, hogy a munkaközelítés keretein belül gömbszimmetrikusnak tekinthetők).
↑ Valójában - szinte minden esetben, kivéve a fent leírtakat; Még olyan egyszerű esetben is, mint az abszolút merev, nem gömb alakú testek Coulomb-kölcsönhatása a rájuk rögzített elosztott töltésekkel, általában lehetetlen az erők számítását kis számú anyagi pont közötti erőkre redukálni.
↑ 1 2 3 Fizikai enciklopédikus szótár / Ch. szerk. A. M. Prohorov. Red.col. D. M. Alekszejev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov és mások - M .: Szovjetunió enciklopédia, 1983.-323 p., il, 2 színes ív ill.
↑ 1 2 Bronstein I. N. Semendyaev K. A. A matematika kézikönyve. M .: "Nauka" Kiadó Fizikai és matematikai referencia irodalom szerkesztőbizottsága. 1964.
↑ Mivel a potenciális és a kinetikus energiák összegét meg kell őrizni, az erő irányában (amely felgyorsíthatja a részecskét ebbe az irányba, ezzel növelve kinetikus energiáját), a potenciális energia csökken.
↑ Tamm I. E. Az elektromosság elméletének alapjai
↑ GOST 8.417-2002. Egységek
↑ Ulrich Leute. Physik und ihre Anwendungen in Technik und Umwelt: Carl Hanser Verlag; München, Wien- 2004 ISBN 3-446-22884-5
↑ Khaikin, Szemjon Emmanuilovics | S. E. Khaikin . A tehetetlenségi és súlytalansági erők. M., 1967. "Tudomány" kiadó. A fizikai és matematikai irodalom főkiadása.
↑ Ulrich Leute. Physik und ihre Anwendungen in Technik und Umwelt: Carl Hanser Verlag; München, Wien- 2004 ISBN 3-446-22884-5
↑ Klaus Dransfeld, Paul Kleine, Georg Michael Kalvius. Physik I. Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH 2001 ISBN 3-486-25416-2
↑ '