Karakter (számelmélet)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 10-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A karakter (vagy numerikus karakter , vagy Dirichlet karakter ) egy határozott aritmetikai függvény , amely invertálható elemeken lévő teljesen multiplikatív karakterekből származik . Dirichlet karaktereket használnak a Dirichlet L -függvények meghatározására , amelyek sok érdekes analitikai tulajdonsággal rendelkező meromorf függvények . Ha Dirichlet karakter, annak L -Dirichlet sorozatát az egyenlőség határozza meg $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$ $\chi$

{\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s))))

ahol s egy komplex szám , amelynek valós része > 1. Analitikus folytatással ez a függvény kiterjeszthető egy meromorf függvényre a teljes komplex síkon . A Dirichlet L -függvények a Riemann-zéta-függvény általánosításai, és kiemelkedően jelennek meg az általánosított Riemann-hipotézisekben .

Dirichlet karaktereit Peter Gustav Lejeune Dirichletről nevezték el .

Axiomatikus definíció

A Dirichlet-karakter bármely függvény a komplex értékekkel rendelkező egész számok halmazán , amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik [1] : $\chi$ $\mathbb {Z}$

Létezik olyan k pozitív egész szám , hogy bármely n esetén . $\chi (n)=\chi (n+k)$
Ha n és k nem relatív prímek , akkor ; ha azok coprime, . $\chi (n)=0$ $\chi (n)\neq 0$
$\chi (mn)=\chi (m)\chi (n)$ bármely m és n egész számra .

Ebből a definícióból néhány más tulajdonság is levezethető. 3) tulajdonság szerint . Mivel a gcd (1, k ) = 1, a 2. tulajdonság azt mondja, hogy , így $\chi (1)=\chi (1\szer 1)=\chi (1)\chi (1)$ $\chi (1)\neq 0$

$\chi(1)=1$ .

A 3) és 4) tulajdonságok azt mutatják, hogy bármely Dirichlet karakter teljesen szorzó karakter . $\chi$

Az 1) tulajdonság azt mondja, hogy a karakter egy k periódusú periodikus függvény . Azt mondjuk, hogy ez egy modulo k karakter . Ez egyenértékű annak mondásával $\chi$

ha , akkor . $a\equiv b{\pmod {k))$ $\chi (a)=\chi (b)$

Ha gcd( a , k ) = 1, az Euler-tétel kimondja, hogy (hol van az Euler-függvény ). Így az 5) és 4), , valamint a 3) tulajdonság szerint . Következésképpen, $a^{\varphi (k)}\equiv 1{\pmod {k))$ $\varphi(k)$ $\chi (a^{\varphi (k)})=\chi (1)=1$ ${\displaystyle \chi (a^{\varphi (k)})=\chi (a)^{\varphi (k)))$

Mert a k -hez tartozó összes prím az egység összetett gyöke , $\chi(a)$ $\varphi(k)$

vagyis valamilyen egész számra . ${\displaystyle e^{2ri\pi /\varphi (k)))$ $0\leqslant r<\varphi (k)$

Az egyetlen 1- es ponttal rendelkező karaktert triviális karakternek nevezzük . Vegye figyelembe, hogy minden karakter eltűnik 0-nál, kivéve a triviális karaktert, amely 1 minden egész számra.

Azt a karaktert, amely minden számnál 1 értéket vesz fel, főnévnek nevezzük : $k$ $\chi _{0}(n)=\left\{{\begin{array}{ll}1,&{\text{gcd}}(n,\;k)=1;\\0, &{\text{gcd}}(n,\;k)\neq 1.\end{tömb}}\jobbra.$ [2] .
- A modulo karaktercsoportban egy egység szerepét játssza. $k$

Egy karaktert valódinak nevezünk, ha csak valós értékeket vesz fel. A nem valódi karaktert összetettnek nevezzük [3]

A karakter előjele a −1 pontban lévő értékétől függ. Azt mondják, hogy furcsa , ha , és még akkor is . $\chi$ $\chi$ $\chi (-1)=-1$ $\chi (-1)=1$

Építés maradékosztályokon keresztül

A Dirichlet-karakterek a gyűrű invertálható elemei csoportjának karaktercsoportja szempontjából a maradékosztályok kiterjesztett karaktereinek tekinthetők [ 4] . $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$

Maradék osztályok

Adott egy k egész szám , egy n egész szám maradékosztályát úgy definiálhatjuk , mint az összes n modulo k - vel kongruens egész szám halmazát : Ez azt jelenti , hogy a maradékosztály n kosetja a hányadosgyűrűben . ${\hat {n}}=\{m\mid m\equiv n{\pmod {k}}\}.$ $\hat{n}$ $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$

A modulo k invertálható elemek halmaza egy Abeli -rendi csoportot alkot , ahol a csoportban a szorzást egyenlőség adja , és ismét az Euler-függvényt jelenti . Ennek a csoportnak az egysége a maradékosztály , a for inverz eleme pedig a maradékosztály , ahol , azaz . Például, ha k = 6, az invertálható elemek halmaza , mivel 0, 2, 3 és 4 nem másodlagos 6. $\varphi(k)$ ${\widehat {mn}}={\kalap {m}}{\kalap {n}}$ $\varphi$ ${\kalap {1}}$ ${\kalap {m))$ $\hat{n}$ ${\hat {m}}{\hat {n}}={\kalap {1}}$ $mn\equiv 1{\pmod {k))$ $\{{\hat {1)),{\hat {5}}\}$

A karaktercsoport a maradékosztályok karaktereiből áll . Az on maradékosztály természete primitív , ha nincs megfelelő d osztója k -nak , így az [ 5] értékű lenne . $(\mathbb {Z} /k)^{*}$ $\theta$ $(\mathbb {Z} /k)^{*}$ $\theta$ $(\mathbb {Z} /k)^{*}\to (\mathbb {Z} /d)^{*}\to \mathbb {C} ^{*}$

Dirichlet karakterei

A Dirichlet-karakter modulo k definíciója biztosítja, hogy az invertálható elemek csoportjának karakterére korlátozódik modulo k [6] : a homomorfizmusok csoportja tól a nullától eltérő komplex számokig . $\chi$ $(\mathbb {Z} /k)^{*}$

\chi :(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\to \mathbb {C} ^{*}

olyan értékekkel, amelyek szükségszerűen az egység gyökerei, mivel a modulo k invertálható elemek véges csoportot alkotnak. Ellenkező irányban, adott egy homomorfizmuscsoport a modulo k invertálható elemek csoportján, az [ -t felemelhetjük egy teljesen multiplikatív függvényre egész számokon, coprime k -re , majd kiterjeszthetjük ezt a függvényt az összes egész számra az érték hozzárendelésével. 0 minden olyan egész számon, amelyeknek közös nem triviális osztói vannak k -val . Az eredményül kapott függvény ekkor egy Dirichlet karakter lesz [7] . $\chi$

A modulo k fő karakter a következő tulajdonságokkal rendelkezik : [7] ${\displaystyle \chi _{1))$

\chi _{1}(n)=1

ha gcd( n , k ) = 1 és

\chi _{1}(n)=0

gcd( n , k ) > 1 esetén.

A multiplikatív csoporthoz tartozó karakter a fő karakter, amely mindig 1-es értéket vesz fel [8] . $(\mathbb {Z} /k)^{*}$

Ha k 1, a modulo k főkarakter minden egész számon 1. 1-nél nagyobb k esetén a modulo k főkarakterek eltűnnek olyan egész számoknál, amelyek nem nulla közös tényezővel rendelkeznek k -val , és 1-gyel egyenlők más egész számoknál.

Vannak Dirichlet karakterek modulo n [7] . $\varphi (n)$

Példák

Bármilyen páratlan modulus esetén a Jacobi szimbólum egy modulo karakter . $k$ $\left({\frac {n}{k))\right)$ $k$
A 2-nél nagyobb fokkal rendelkező hatványmaradék nem valós karakter.

Néhány karaktertáblázat

Az alábbi táblázatok segítenek bemutatni Dirichlet karaktereinek természetét. A modulo 1-től 10-ig terjedő karaktereket képviselik. A karakterek a főszereplők. ${\displaystyle \chi _{1))$

Modulo 1

Van egy modulo 1 karakter: $\varphi(1)=1$

$\chi \setminus n$	0
$\chi _{1}(n)$	egy

Ez egy triviális karakter.

Modulo 2

Van egy modulo 2 karakter: $\varphi (2)=1$

$\chi \setminus n$	0	egy
$\chi _{1}(n)$	0	egy

Vegye figyelembe, hogy ezt teljesen meghatározza az értéke , mivel az 1 invertálható elemek csoportját generálja modulo 2. $\chi$ $\chi (1)$

Modulo 3

Van egy modulo 3 karakter: $\varphi (3)=2$

$\chi \setminus n$	egy	2
$\chi _{1}(n)$	egy	egy
$\chi _{2}(n)$	egy	−1

Vegye figyelembe, hogy ezt teljesen meghatározza az értéke , mivel a 2 invertálható elemek csoportját generálja modulo 3. $\chi$ $\chi (2)$

Modulo 4

Van egy modulo 4 karakter: $\varphi (4)=2$

$\chi \setminus n$	egy	2	3
$\chi _{1}(n)$	egy	0	egy
$\chi _{2}(n)$	egy	0	−1

Vegye figyelembe, hogy ezt teljesen meghatározza az értéke , mivel a 3 invertálható elemek csoportját generálja modulo 4. $\chi$ $\chi (3)$

Az L -Dirichlet-sorozat a Dirichlet-lambda-függvénnyel egyenlő (szorosan kapcsolódik a Dirichlet eta függvényhez ) $\chi _{1}(n)$

L(\chi _{1},s)=(1-2^{-s})\zeta (s)

hol van a Riemann zéta függvény. Az L sorozat a Dirichlet béta függvény $\zeta (s)$ $\chi _{2}(n)$

L(\chi _{2},s)=\beta (s).\,

Modulo 5

Vannak modulo 5 karakterek. A táblázatokban az i a négyzetgyöke . $\varphi (5)=4$ $-egy$

$\chi \setminus n$	egy	2	3	négy
$\chi _{1}(n)$	egy	egy	egy	egy
$\chi _{2}(n)$	egy	én	−i	−1
$\chi _{3}(n)$	egy	−1	−1	egy
$\chi _{4}(n)$	egy	− i	én	−1

Vegye figyelembe, hogy az érték teljesen meghatározott , mivel a 2 modulo 5 invertálható elemek csoportját generálja. $\chi$ $\chi (2)$

Modulo 6

Vannak modulo 6 karakterek: $\varphi(6)=2$

$\chi \setminus n$	egy	2	3	négy	5
$\chi _{1}(n)$	egy	0	0	0	egy
$\chi _{2}(n)$	egy	0	0	0	−1

Vegye figyelembe, hogy ezt teljesen meghatározza az értéke , mivel az 5 invertálható elemek csoportját generálja modulo 6. $\chi$ $\chi (5)$

Modulo 7

Vannak modulo 7 karakterek. Az alábbi táblázat $\varphi (7)=6$ $\omega =\exp(\pi i/3).$

$\chi \setminus n$	egy	2	3	négy	5	6
$\chi _{1}(n)$	egy	egy	egy	egy	egy	egy
$\chi _{2}(n)$	egy	$\omega ^{2}$	$\omega$	$-\omega$	$-\omega ^{2}$	−1
$\chi _{3}(n)$	egy	− $\omega$	$\omega ^{2}$	$\omega ^{2}$	$-\omega$	egy
$\chi _{4}(n)$	egy	egy	−1	egy	−1	−1
$\chi _{5}(n)$	egy	$\omega ^{2}$	$-\omega$	$-\omega$	$\omega ^{2}$	egy
$\chi _{6}(n)$	egy	$-\omega$	$-\omega ^{2}$	$\omega ^{2}$	$\omega$	−1

Vegye figyelembe, hogy ezt teljesen meghatározza az értéke , mivel a 3 invertálható elemek csoportját generálja modulo 7. $\chi$ $\chi (3)$

Modulo 8

Vannak modulo 8 karakterek. $\varphi (8)=4$

$\chi \setminus n$	egy	2	3	négy	5	6	7
$\chi _{1}(n)$	egy	0	egy	0	egy	0	egy
$\chi _{2}(n)$	egy	0	egy	0	−1	0	−1
$\chi _{3}(n)$	egy	0	−1	0	egy	0	−1
$\chi _{4}(n)$	egy	0	−1	0	−1	0	egy

Vegye figyelembe, hogy ezt teljesen meghatározza a és értéke , mivel a 3 és az 5 invertálható elemek csoportját generálja modulo 8. $\chi$ $\chi (3)$ $\chi (5)$

Modulo 9

Vannak modulo 9 karakterek. Az alábbi táblázat $\varphi (9)=6$ $\omega =\exp(\pi i/3).$

$\chi \setminus n$	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc
$\chi _{1}(n)$	egy	egy	0	egy	egy	0	egy	egy
$\chi _{2}(n)$	egy	$\omega$	0	$\omega ^{2}$	$-\omega ^{2}$	0	$-\omega$	−1
$\chi _{3}(n)$	egy	$\omega ^{2}$	0	$-\omega$	$\omega$	0	$\omega ^{2}$	egy
$\chi _{4}(n)$	egy	−1	0	egy	−1	0	egy	−1
$\chi _{5}(n)$	egy	$-\omega$	0	$\omega ^{2}$	$\omega ^{2}$	0	$-\omega$	egy
$\chi _{6}(n)$	egy	$-\omega ^{2}$	0	$-\omega$	$\omega$	0	$\omega ^{2}$	−1

Vegye figyelembe, hogy ezt teljesen meghatározza az értéke , mivel a 2 invertálható elemek csoportját generálja modulo 9. $\chi$ $\chi (2)$

Modulo 10

Vannak modulo 10 karakterek. $\varphi (10)=4$

$\chi \setminus n$	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9
$\chi _{1}(n)$	egy	0	egy	0	0	0	egy	0	egy
$\chi _{2}(n)$	egy	0	én	0	0	0	− i	0	−1
$\chi _{3}(n)$	egy	0	−1	0	0	0	−1	0	egy
$\chi _{4}(n)$	egy	0	− i	0	0	0	én	0	−1

Vegye figyelembe, hogy ezt teljesen meghatározza az értéke , mivel a 3 invertálható elemek csoportját generálja modulo 10. $\chi$ $\chi (3)$

Példák

Ha p páratlan prímszám , akkor a függvény

\chi (n)=\left({\frac {n}{p}}\jobbra),\

ahol a Legendre szimbólum , egy primitív Dirichlet karakter modulo p [9] .

\left({\frac {n}{p}}\right)

Általánosabban, ha m egy pozitív páratlan szám, akkor a függvény

\chi (n)=\left({\frac {n}{m}}\jobbra),\

ahol a Jacobi szimbólum , a Dirichlet karakter modulo m [9] .

\left({\frac {n}{m}}\right)

Ezek másodfokú karakterek – általános esetben a primitív másodfokú karakterek pontosan a Kronecker-Jacobi szimbólumból származnak [10] .

Primitív karakterek és karmester

Amikor az N modulo maradékokról a modulo M maradékokra váltunk, az N bármely M tényezőjére információ elveszik. A Dirichlet-karaktereffektus az ellenkező eredményt adja – ha egy karakter modulo M , akkor M karaktermodulo N karaktert indukál M bármely N többszörösére . Egy karakter primitív , ha nem indukálja semmilyen modulo less karakterrel [3] . $\chi *$ $\chi *$

Ha egy karakter modulo n és d osztja n -t , akkor azt mondjuk, hogy a d modul az indukált modul , ha mindenre egy koprím n -re és 1 mod d -re [11] : a karakter primitív, ha nincs kisebb indukált modul [12] ] . $\chi$ $\chi$ $\chi (a)=1$

Ezt többféleképpen formalizálhatjuk karakterek definiálásával, és konzisztensként , ha valamelyik N modulra úgy, hogy N 1 és N 2 is osztja N -t, minden n -re N -re írjuk a koprímet , azaz van valamilyen karakter generálva , így és . Ez egy ekvivalencia reláció a karaktereken. Az ekvivalenciaosztályban a legkisebb modulusú karakter primitív, és ez a legkisebb modulus az osztály karaktereinek vezetője . ${\displaystyle \chi _{1}\mod N_{1))$ $\chi _{2}\mod N_{2}$ $\chi _{1}(n)=\chi _{2}(n)$ $\chi *$ ${\displaystyle \chi _{1))$ ${\displaystyle \chi _{2))$

A karakterek nem primitívsége az Euler-szorzók hiányához vezethet L- függvényeikben .

A karakterek ortogonalitása

Egy véges csoport karaktereinek ortogonalitása átragad a Dirichlet-karakterekre [13] .

Ha egy modulo n karaktert javítunk , akkor $\chi$

\sum _{a{\bmod {n}}}\chi (a)=0

ha nem a fő karakter, egyébként az összeg . $\chi$ $\varphi (n)$

Hasonlóképpen, ha egy a modulo n maradékosztályt rögzítünk , akkor az összes karakter összege ad

\sum _{\chi }\chi (a)=0

kivéve az a =1 esetet , amikor az összeg . $\varphi (n)$

Ebből arra a következtetésre jutottunk, hogy bármely n periódusú periodikus függvény az n - re kopírozott maradékok osztályán Dirichlet-karakterek lineáris kombinációja [14] .

Történelem

Dirichlet karaktereit a -sorozatukkal együtt Dirichlet vezette be 1831-ben, Dirichlet tételének bizonyításaként, amely a prímszámok számának végtelenjére vonatkozik az aritmetikai sorozatokban. Ezeket a függvényeket csak az 1-re és főleg az 1-re való törekvésnél tanulmányozta. A függvények kiterjesztését a teljes komplex síkra Riemann 1859-ben érte el. $L$ $s\in \mathbb {R}$ $s$

Lásd még

karakter Gekke
Karakterek összege
Gauss összeg
Primitív gyök modulo n
Selberg osztály

Jegyzetek

↑ Montgomery, Vaughan, 2007 , p. 117-8.
↑ Montgomery, Vaughan, 2007 , p. 115.
↑ 1 2 Montgomery, Vaughan, 2007 , p. 123.
↑ Fröhlich és Taylor 1991 , p. 218.
↑ Fröhlich és Taylor 1991 , p. 215.
↑ Apostol, 1976 , p. 139.
↑ 1 2 3 Apostol, 1976 , p. 138.
↑ Apostol, 1976 , p. 134.
↑ 1 2 Montgomery, Vaughan, 2007 , p. 295.
↑ Montgomery, Vaughan, 2007 , p. 296.
↑ Apostol, 1976 , p. 166.
↑ Apostol, 1976 , p. 168.
↑ Apostol, 1976 , p. 140.
↑ Davenport, 1967 , p. 31–32.

Irodalom

ApostolTM Bevezetés az analitikus számelméletbe. - New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. - (Matematika alapképzési szövegei). — ISBN 978-0-387-90163-3 .
Apostol TM A teljesen multiplikatív aritmetikai függvények néhány tulajdonsága // The American Mathematical Monthly. - 1971. - T. 78 , sz. 3 . – S. 266–271 . - doi : 10.2307/2317522 . — .
Harold Davenport. szorzószámelmélet. - Chicago: Markham, 1967. - Vol. 1. - (Előadások haladó matematikából).
- Davenport G. Multiplikatív számelmélet. - M . : "Nauka", 1971.
Helmut Hasse. Vorlesungen über Zahlentheorie. — 2. átdolgozott. — Springer-Verlag . - V. 59. - (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen). lásd a 13. fejezetet.
- Hasse G. Előadások a számelméletről. - M . : Külföldi irodalom, 1953.
Mathar, RJ (2010), Table of Dirichlet L-series and prime zeta modulo functions for small moduli, arΧiv : 1008.2547 [math.NT].
Hugh L Montgomery, Robert C. Vaughan. szorzószámelmélet. I. Klasszikus elmélet. - Cambridge University Press , 2007. - V. 97. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). - ISBN 0-521-84903-9 .
- Montgomery G. Multiplikatív számelmélet. - M . : "Mir", 1974.
Robert Spira. Dirichlet L-függvények számítása // Számítási matematika. - 1969. - T. 23 , sz. 107 . – S. 489–497 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1969-0247742-X .
Fröhlich A., Taylor MJ Algebrai számelmélet. - Cambridge University Press , 1991. - V. 27. - (Cambridge-i tanulmányok haladó matematikából). — ISBN 0-521-36664-X .

Irodalom

Galochkin A. I., Nesterenko Yu. V., Shidlovsky A. B. Bevezetés a számelméletbe. - M .: A Moszkvai Egyetem Kiadója, 1984.
Karatsuba A. A. Az analitikus számelmélet alapjai. - 3. kiadás — M.: URSS, 2004.

Karakterek a számelméletben és a csoportelméletben
Másodfokú karakterek	A legenda szimbóluma Jacobi szimbólum Kronecker szimbólum - Jacobi
Az erőmaradékok karakterei	A köbös maradék természete A bikvadratikus maradék természete Teljesítmény maradék szimbólum