Rademacher függvény

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. február 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Rademacher-függvény egy darabonként állandó periodikus függvény, amely csak két 1 és -1 értéket vesz fel a teljes definíciós tartományban. Hans Rademacher vezette be 1922 -ben [1] . A függvény grafikonja egy meander .

A Rademacher függvény a következőképpen fejezhető ki:

\operatorname {rad} _{n}(x)=\operatorname {sign} \left(\sin \left(2^{n}\pi x\right)\right)

A Rademacher-függvények rendszere ortonormális a térben $L^{2}[0,1]$ , mert:

\int _{0}^{1}\operátornév {rad} _{n}(x)\cdot \operátornév {rad} _{m}(x)\mathrm {d} x=\delta _{ mn}

hol van a Kronecker szimbólum . $\delta _{{mn}}$

Rademacher függvényrendszere hiányos. Ezek alapján elkészítheti a Walsh-függvényeket :

\operátornév {wal} _{\nu }(x)=\operátornév {rad} _{\operátornév {lb} \nu }(x)

hol van a bináris logaritmus . $\operatorname {lb} \nu =\log _{2}\nu$

A Rademacher funkciót a Haar funkcióval lehet megadni : $\psi(x)$

\operatorname {rad} _{\nu }(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\psi (2^{\nu }x+k)

Jegyzetek

↑ H. Rademacher. Einige Sätze über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen (német) // Math. Ann.. - 1922. - Bd. 87 , sz. 1-2 . – S. 112–138 . (nem elérhető link)

Linkek

Square Wave a WolframMathWorldben
Rademacher rendszer - Matematikai enciklopédiás cikk