Mangold funkció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. április 16-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Mangoldt-függvény egy számtani függvény , amely egyenlő azzal, hogy ha egy prímszám hatványa , ellenkező esetben . Röviden: $\Lambda (n)$ $\ln p$ ${\displaystyle n=p^{m))$ $\Lambda (n)=0$

\Lambda (n)={\begin{cases}\ln p,\quad &n=p^{m}\\0,\ \quad &n\neq p^{m}\end{cases))

A Mangoldt-függvényt X. Mangoldt javasolta 1894-ben. A prímszámok eloszlásának törvényének bizonyítására általánosságban és a számtani sorozatokban.

Tulajdonságok

A definícióból az következik

\sum \limits _{d\mid n}\Lambda (d)=\ln n

Az előző képletből származó Möbius inverziós képlet segítségével megkapjuk

\Lambda (n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\ln {\frac {n}{d))=-\sum \limits _{d\mid n} \mu (d)\ln d

Kapcsolat a prímek eloszlásával

Kapcsolat a Riemann zéta függvénnyel : $\ln \zeta (s)=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}\ln n)),\ \ operátornév {Re} s>1$
$-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)))=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{ n^{s}}},\ \operátornév {Re} s>1$
Hasonló összefüggések érvényesek a Dirichlet L-függvényekre is :

\ln L(s,\chi )=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\chi (n)\Lambda (n)}{n^{s}\ ln n}},\ \operátornév {Re} s>1

-{\frac {L'(s,\chi )}{L(s,\chi )}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi ( n)\Lambda (n)}{n^{s}}},\ \operátornév {Re} s>1

$\sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n))\sim \ln x$
$\sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n\ln n))=\ln \ln x+\gamma +O(e^{-c{\sqrt {\ln x)))}),$ hol van az Euler-állandó $\gamma$
A Csebisev psi függvény a Mangoldt-függvény összegző függvénye

\psi (x)=\sum \limits _{{n\leqslant x}}\Lambda (n)

A Perron -féle képlet az előző relációra alkalmazva megadja

{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)))=-s\int \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\psi (x)} {x^{1+s}}}dx,\ \operátornév {Re} s>1

Irodalom

Prahar. Prímszámok eloszlása. - M .: Mir, 1967.