Zsukovszkij funkció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. június 6-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Zsukovszkij-függvény egy konform leképezés , amelyet a repülőgép szárnyprofiljaival kapcsolatos egyes elvek leírására használnak . N. E. Zsukovszkijról nevezték el az aerodinamikában e funkciónak adott alkalmazások miatt [1] . A komplex elemzés klasszikus elemi függvényeire utal , mivel a legtöbb trigonometrikus és hiperbolikus függvény a kitevő és a Zsukovszkij-függvény szuperpozíciójaként ábrázolható [2] .

Definíció

A Zsukovszkij-függvény a komplex sík transzformációja az [1] képlet szerint. $f:\mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C}$

f(z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right).

A Zsukovszkij-függvény egy tört-racionális és másodfokú függvény összetételeként is definiálható [3] :

f(z)=(S_{1}^{-1}\circ S_{2}\circ S_{1})(z),

ahol

S_{1}(z)={\frac {z-1}{z+1)),\;S_{2}(z)=z^{2}.

Tulajdonságok

$f(z)=f\left({\frac {1}{z}}\right)$ [1] .
A Zsukovszkij-függvény inverze a [4] függvény . $g(z)=z+{\sqrt {z^{2}-1))$
$f'(z)={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{z^{2}}}\right)$ nullától eltérő at . Ezért a leképezés mindenhol konform, kivéve ezeket a pontokat [5] . $z\neq\pm 1$ $F z)$
A Zsukovszkij-függvény a következő konform leképezéseket hajtja végre [2] :

kör a teljes komplex síkon a valós tengely egy szakasza mentén vágva . $\left\lbrace z:|z|<1\right\rbrace$ $(-1,1)$
egy kör a szegmensek mentén bevágásokkal és , ahol a teljes komplex síkon a szegmens mentén vágott . $\left\lbrace z:|z|<1\right\rbrace$ ${\megjelenítési stílus (b,1)}$ ${\megjelenítési stílus (-1,-a)}$ $0<a,b<1$ $\left(-{\frac {1}{2}}\left(a+{\frac {1}{a}}\right),{\frac {1}{2}}\left(b+{ \frac {1}{b}}\right)\right)$
a felső félsíkot a teljes komplex síkra vágva a sugarak mentén és a valós tengelyen. $(-\infty ,-1)$ $(1,+\infty )$
félkör az alsó félsíkhoz. $\left\lbrace z:|z|<1,{\mbox{Im}}\,z>0\right\rbrace$
a ponton áthaladó kör , amely a pontot egy zárt görbébe tartalmazza, hasonló egy repülőgép szárnyának profiljához, és ezt Zhukovsky-Chaplygin profilnak nevezik. A kör középpontjának sugarának és helyzetének változtatásával változtatható a hajlítási szög és a szárny vastagsága [6] . $egy$ $-egy$

Karman-Trefftz transzformáció

A Zsukovszkij-függvény általánosítása a Karman-Trefftz transzformáció, amely az eredeti változót a transzformált egyenlőséggel hozza összefüggésbe. $z$ $\zeta$

{\frac {\zeta -k}{\zeta +k))={\frac {(z-1)^{k)){(z+1)^{k))},

ahol . Amikor kiderül [7] . $k<2$ $k=2$ $\zeta =2f(z)$

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Markushevich, 1957 , p. 76.
↑ 1 2 Evgrafov, 1991 , p. 190.
↑ Markusevich, 1957 , p. 80.
↑ Evgrafov, 1991 , p. 188.
↑ Markusevich, 1957 , p. 79.
↑ Markusevich, 1957 , p. 327-328.
↑ Milne-Thomson, 1973 , pp. 129.

Irodalom

Evgrafov, M. A. Analitikai függvények. - 3. kiadás, átdolgozva. és további —M.:Nauka, 1991. — 448 p. —ISBN 5-02-014200-X.
Markushevich, AI Rövid kurzus az analitikus függvények elméletéből. -M .:Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1957.
Milne-Thomson, L. M. Elméletiaerodinamika . — 4. kiadás. - New York: Dover Publications , 1973. - ISBN 0-486-61980-X .