Frobenius normál forma

A lineáris algebrában az A lineáris operátor Frobenius-normálalakja a mátrixának kanonikus alakja, amely megfelel egy lineáris tér minimális felbomlásának A alatt invariáns alterek közvetlen összegére , amelyet valamilyen lineáris terjedelemként kaphatunk meg. vektor és képei az A hatására. Ez egy blokk-átlós mátrix lesz , amely a fajhoz tartozó Frobenius sejtekből áll

{\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vpontok &\vpontok \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}

Az ilyen mátrixot kísérő polinomnak nevezzük . $x^{n}+x^{n-1}a_{n-1}+\cdots +a_{0}$

tétel állítása

Legyen V véges dimenziós vektortér egy k mező felett , A lineáris operátor ezen a téren. Ekkor van egy V bázis, amelyben az A mátrix ebben a bázisban blokkátlós , blokkjai olyan unitér polinomok kísérőmátrixai , amelyek oszthatók -vel . A polinomok egyedileg meghatározottak. $f_{i}$ $f_{{i+1}}$ $f_{i}$ $f_{i}$

Bizonyítás

Egy vektortér lineáris operátora azt a teret modullá teszi a k [ x ] polinomgyűrű felett ( x - szel való szorzás megfelel egy lineáris operátor alkalmazásának). A polinomiális gyűrű euklideszi , tehát fő ideális tartomány , így a struktúratételt a véges generált modulokra is alkalmazhatjuk főideálgyűrűkre . Ugyanis a tér invariáns tényezők közvetlen összegére való felbontását használjuk. Egy egyedi tényező k[x]/f(x) alakú, legyen f foka n . Ebben az altérben választunk bázist az 1, x, x 2 ... x n-1 polinomok képeként a faktorizációs leképezésben, jól látható, hogy ebben a bázisban a „szorozzuk x-szel” operátor mátrixa. egybeesik az f(x) polinom kísérő mátrixával . Minden faktorban ilyen típusú bázist választva a kívánt típusú mátrixot kapjuk. A polinomok invarianciája a struktúratétel faktorainak invarianciájából következik. $f_{i}$

Példák

Példa egy általános álláspontra.

Ha egy mátrix minden sajátértéke eltérő, akkor a Frobenius-normál alakja pontosan egy blokkból álló mátrix lesz:

{\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vpontok &\vpontok \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}

a számok pedig a karakterisztikus polinom együtthatói. $a_{{i}}$

Több blokk csak akkor fordulhat elő, ha a mátrix sajátértékei megegyeznek.

extrém példa.

Tekintsünk egy skaláris mátrixot, azaz egy olyan átlós mátrixot, amelyben az átlón lévő összes szám azonos számmal . Egy ilyen mátrix esetében a Frobenius-normál alakja önmaga lesz. Ez azt jelenti, hogy az átlón minden érték egy 1-szer 1-es Frobenius részblokk, és minden polinom egyenlő egymással és egyenlő . Megjegyzendő, hogy bármilyen mátrixszal konjugálva a skaláris mátrix önmaga marad, vagyis a konjugáció elvileg nem változtathatja meg a formáját, ami megfelel annak, hogy maga a Frobenius-normál alakja. $\lambda$ $f_{i}$ $x-\lambda$

Egy 2-szer 2-es mátrixhoz, amely Jordan-cella:

${\begin{pmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix))$ ennek Frobenius-normálalakja a mátrix: . Azaz egy blokk 2-2. Különösen jól látható, hogy ezeknek a mátrixoknak a nyomai és determinánsai megegyeznek. ${\begin{pmatrix}0&-\lambda ^{2}\\1&2\lambda \end{pmatrix}}$

Egy 3x3-as mátrixhoz, amely Jordan-cella:

{\begin{pmatrix}\lambda &1&0\\0&\lambda &1\\0&0&\lambda \end{pmatrix))

Frobenius normálalakja a mátrix:

{\begin{pmatrix}0&0&\lambda ^{3}\\1&0&-3\lambda ^{2}\\0&1&3\lambda \end{pmatrix}}

Ezek a példák azt mutatják, hogy a sajátértékek egybeesése nem elegendő feltétel több blokk megjelenéséhez. (Bár szükséges – amint fentebb megjegyeztük).

Ezeket a példákat tetszőleges méretű mátrixok esetére általánosítjuk - egy teljes méretű Jordan-cella esetén a Frobenius-normál alakja egy blokkot tartalmaz, és az utolsó oszlopot a polinom mínusz előjellel vett együtthatói adják. (Ez a polinom jellemző és minimális erre a mátrixra). ${\displaystyle (x-\lambda )^{n))$

Egy mátrix, amelynek Jordan normál alakja van:

{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&1&0\\0&\lambda _{1}&\\0&0&\lambda _{2}\end{pmatrix))

(a számára ).

{\displaystyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2))

Frobenius normál alakja van, amely egyetlen 3x3 blokkból áll:

{\begin{pmatrix}0&0&\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}\\1&0&-\lambda _{1}^{2}-2\lambda _{1}\lambda _{2}\\0&1&2\lambda _{1}+\lambda _{1}\end{pmatrix}}

A polinom karakterisztikus és minimális polinom. ${\displaystyle f_{1))$ $f_{1}=(x-\lambda _{1})^{2}(x-\lambda _{2})$

Példák két blokkal.

Tekintsünk egy Jordan normál alakú mátrixot:

{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{1}&0\\0&0&\lambda _{2}\end{pmatrix))

(a számára ).

{\displaystyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2))

Frobenius-normál alakja egy mátrix, amely két részblokkból áll, az első 1:1 és a második 2:2:

{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&0&-\lambda _{1}\lambda _{2}\\0&1&(\lambda _{1}+\lambda _{2}) \end{pmatrix}}

A polinomokat képletek adják meg , és könnyen belátható, hogy (vagyis egy polinom osztja a polinomot ) . A polinom egy minimális polinom. ${\displaystyle f_{i))$ $f_{1}=(x-\lambda _{1})$ $f_{2}=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})$ $f_{1}|f_{2}$ ${\displaystyle f_{1))$ ${\displaystyle f_{2))$ $f_{2}$

Egy mátrix, amelynek Jordan normál alakja van:

{\begin{pmatrix}\lambda &1&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{pmatrix}}

Frobenius-normálalakja egy mátrix, amely két részblokkból áll, az első 1:1, a második pedig 2:2:

{\begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&0&-\lambda ^{2}\\0&1&2\lambda \end{pmatrix))

A polinomokat képletekkel adjuk meg , és ez könnyen belátható (vagyis a polinom osztja a polinomot ). A polinom egy minimális polinom. ${\displaystyle f_{i))$ $f_{1}=(x-\lambda )$ ${\displaystyle f_{2}=(x-\lambda )^{2))$ $f_{1}|f_{2}$ ${\displaystyle f_{1))$ ${\displaystyle f_{2))$ $f_{2}$

További példák. Ha egy mátrix nilpotens, akkor a jordán és a frobenius-normál alakja egybeesik (átültetésig). Valójában a nilpotens mátrix sajátértékei egyenlőek nullával, csakúgy, mint a karakterisztikus polinom együtthatói, vagyis mindkét forma nem triviális elemei eltűnnek, és az egységek a transzpozícióig mindkét formában megtalálhatók. azonos módon.

Tulajdonságok

A polinomok közül a legmagasabb egybeesik a mátrix minimális polinomjával. Az összes polinom szorzata egyenlő a mátrix karakterisztikus polinomjával. A blokkméretek Frobenius normál alakban megegyeznek a polinomok hatványaival . A tulajdonság nyilvánvalóan a polinomok azonos egybeesését vonja maga után, ha azonos fokuk van. Ezért, ha a Frobenius normál formájú blokkok azonos méretűek, akkor azonosan esnek egybe. ${\displaystyle f_{i))$ ${\displaystyle f_{i))$ $f_{i}|f_{i+1}$ $f_{i},f_{i+1}$

Irodalom

Gantmakher F. R. Mátrixelmélet . - 5. kiadás - M. : Fizmatlit, 2004. - 560 p. — ISBN 5-9221-0524-8 .
Milovanov M. V., Tolkachev M. M., Tyshkevich R. I., Fedenko A. S. Ch . 83. — 269 p.
David S. Dummit és Richard M. Foote. Absztrakt algebra. 2. kiadás, John Wiley & Sons. pp. 442, 446, 452-458. - ISBN 0-471-36857-1 .