Fredholm operátor

A Fredholm -operátor vagy a Noether-operátor egy lineáris operátor vektorterek között (általában végtelen dimenziójú), amelynek magja és kokernelje véges dimenziós. Más szóval, legyen X, Y vektorterek. Egy operátort Fredholmnak hívnak, ha $T:X\to Y$

${\mathrm {dim}}\,\ker T<\infty$ ,
${\mathrm {dim}}\;{\mathrm {coker}}\,T<\infty$ .

A véges dimenziós terek közötti operátor mindig Fredholm.

Általában a koncepciót Banach-terekre veszik figyelembe, és az operátort korlátosnak tekintik.

Azt is meg kell jegyezni, hogy definíciójából adódóan a Fredholm-operátor általában mindig feloldható .

Fredholm operátori index

Az ilyen operátorok esetében az operátorindex fogalmának van értelme :

{\mathrm {ind}}\,T={\mathrm {dim}}\,\ker T-{\mathrm {dim}}\;{\mathrm {coker}}\,T

Ezen túlmenően minden konkrétan adott egy n indexű Fredholm operátor létezik. $n\in {\mathbb {Z}}$

Fredholm operátorok transzformációi

A Fredholm operátor adjunktja is Fredholm: . Ezenkívül egy az egyhez kapcsolat van ezen operátorok indexei között: $T\in {\mathcal {N}}(X,\;Y)\bal jobbra nyíl T^{{'}}\in {\mathcal {N}}(Y^{{'}},\;X^{{ ')))$ ${\mathrm {ind}}\,T^{{'}}=-{\mathrm {ind}}\,T$
A Fredholm-operátorok összetétele Fredholm-operátor, indexe pedig ( Atkinson-tétel ) ${\mathrm {ind}}\,TS={\mathrm {ind}}\,T+{\mathrm {ind}}\,S$
A kompakt perturbáció megőrzi a Fredholm tulajdonságot és az operátor indexét: $T\in {\mathcal {N}}(X,\;Y),\;S\in {\mathcal {K}}(X,\;Y)\Rightarrow T+S\in {\mathcal {N} }(X,\;Y),\;{\mathrm {ind}}\,(T+S)={\mathrm {ind}}\,T$
A Fredholm-tulajdonság és az index is kellően kis korlátos perturbációk, azaz . Más szóval, a halmaz nyitott a korlátos operátorok halmazában . $\forall T\in {\mathcal {N}}(X,\;Y)\;\exists \varepsilon :\,\forall S\in {\mathcal {B}}(X,\;Y),\| S\|\leqslant \varepsilon \Rightarrow T+S\in {\mathcal {N}}(X,\;Y),\;{\mathrm {ind}}\,(T+S)={\mathrm { ind}}\,T$ ${\mathcal {N}}(X,\;Y)$ ${\mathcal {B}}(X,\;Y)$

Fredholm tétele

K\in {\mathcal {K}}(X,\;X)\Jobbra ({\mathrm {I_{X}}}-K)

a Fredholm (itt az X azonosító operátora ).

{\mathrm {I_{X))}

A fredholmi lét kritériumai

Noether kritériuma: T akkor és csak akkor Fredholm, ha T majdnem invertálható , azaz majdnem inverz operátora van.
Nikolsky-kritérium: T akkor és csak akkor Fredholm, ha T felbontható S+K összegre, ahol S invertálható és K kompakt . Vagy ami ugyanaz: , ahol a reverzibilis lineáris operátorok halmaza . ${\mathcal {N}}(X,\;Y)={\mathrm {Inv}}(X,\;Y)\,+\,{\mathcal {K}}(X,\;Y)$ ${\mathrm {Inv}}(X,\;Y)$

Irodalom

Kutateladze S. S. A funkcionális elemzés alapjai. - 3. kiadás - Novoszibirszk: Matematikai Intézet Kiadója, 2000. - 336 p. — ISBN 5-86134-074-9 . .