Francia vasúti mérőszám

A francia vasúti mérőszám a metrika szokatlan példája .

Ennek a mérőszámnak a neve Franciaország nagyon központi fekvésű (főleg korábbi) vasúthálózatáról származik , amelyben szinte az összes vágány Párizsban konvergált .

Ennek olyan következményei voltak, hogy például ahhoz, hogy Strasbourgból Lyonba vasúton eljussunk , 400 km-es kitérőt kell tenni Párizson keresztül – el kellett viselnie , hogy nincs közvetlen kapcsolat.

Ez arra késztetett egy ismeretlen matematikust, hogy definiálja a következő mérőszámot: ha van néhány ponthalmaz a síkban (Párizson keresztül vasúti összeköttetéssel rendelkező franciaországi városok) és - egy fix pont van kiválasztva (Párizs), akkor a metrika a következőképpen definiálható: : $x$ $p$ $x$ $\rho \colon X\time X\to {\mathbb {R}}$

\rho (x,y)=\left.{\begin{cases}\|xy\|,&x-p=\lambda (yp)\\\|xp\|+\|yp\|,&x -p\neq \lambda (yp)\end{cases}}\right.,\quad x,y\in X,\lambda \in \mathbb {R} .

Itt a vasúti távolságot kell érteni várostól városig . $\rho (x,y)$ $x$ $y$

Ez a konstrukció megenged egy elemi általánosítást bármely normált térre .

Tulajdonságok

A nem degenerált esetben, vagyis amikor vannak nem kollineáris vektorok, a francia vasúti metrika a legegyszerűbb példa egy olyan metrikára, amelyet nem egy norma generál.

Sőt, tegyük fel az ellenkezőjét. Legyen ilyen szabály. Vegyünk két nem kollineáris vektort és , amelyekre . Ekkor a és vektorok szintén nem kollineárisak, és $a$ $b$ $\left|a\right|\leqslant \left|b\right|$ $a+b$ $b$

\rho (p+a,\,p)\leqslant \rho (p,\,p+b)<\rho (p+a+b,\,p+b)

A norma által generált mérőszám esetében ez az egyenlőtlenség sérül: $d$

d(p+a,p)=|p+ap|=|a|\leq d(p,p+b)=|ppb|=|-b|=|b|<d(p+a +b,p+b)=|p+a+bpb|=|a|.

Ezért nincs olyan norma , amely a francia vasúti mérőszámot generálja abban az értelemben $|\cdot |$ $\rho (x,\,y)=|xy|.$

Nevek p = 0 -nál

A francia metró metrikájának normája a következő mutató : [1] [2] : $\|\cdot \|$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{2}$

\rho (x,y)=\left.{\begin{cases}\|xy\|,&x=\lambda y\\\|x\|+\|y\|,&x\neq \lambda y\end{cases}}\right.,\quad x,y\in X,\lambda \in \mathbb {R} .

Más szavakkal, a francia metró metrikáját az x ponttól az y pontig tartó legrövidebb út hosszaként határozzuk meg, ha x , y és az origó ugyanazon az egyenes vonalon van, és az x -től y -ig tartó legrövidebb út hossza. az eredet, különben.

A francia metró metrikája megegyezik a francia vasúti mérőszámmal abban az esetben, ha Párizs az origóban van ( p = 0).

Az euklideszi norma esetében a francia metró mérőszámát párizsi metrikának , sündisznó metrikának , radiális metrikának vagy megerősített SNCF metrikának is nevezik [1] [2] [3] . $\|\cdot \|_{2}$

Brit vasúti metrika

A (általában -on ) lévő norma esetében a brit vasúti metrika a on (on ) metrika, amelyet a következőképpen határoznak meg $\|\cdot \|$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{n}$

\|x\|+\|y\|

ha , és mint 0 egyébként. Más néven Post Office metrika, Caterpillar metrika és Shuttle metrika [1] [2] . $x\ney$

Vagyis a brit vasúti mérőszám szerint mindig az eredeten keresztül kell kitérni, kivéve, ha a kiindulási pont megegyezik a célponttal.

Az Egyesült Királyságban a brit vasút mérőszámát (British Rail metrika ) néha a francia metró metrikájának is nevezik [4] .

Példák

p	x	y	FZhDM [5]	MFM [6]	IBJD [7]
$(0;0)$	$(0;3)$	$(6;5)$	$3+{\sqrt {61}}$	$3+{\sqrt {61}}$	$3+{\sqrt {61}}$
$(0;0)$	$(0;3)$	$(0;6)$	$3$	$3$	${\sqrt {45}}$
$(-3;2)$	$(0;3)$	$(0;6)$	${\sqrt {10}}+5$	$3$	${\sqrt {45}}$
	$(0;3)$	$(6;5)$	${\sqrt {40}}$	$3+{\sqrt {61}}$	$3+{\sqrt {61}}$
	$(5;12)$	$(12;5)$	${\sqrt {164}}+{\sqrt {234}}$	$26$	$26$
	$(5;12)$	$(5;12)$	$0$	$0$	$0$

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Elena Deza, Michelle Marie Deza. Távolságok enciklopédikus szótára = Dictionary of Distances. - M . : Nauka, 2008. - S. 278 . — ISBN 978-5-02-036043-3 .
↑ 1 2 3 Elena Deza, Michel Marie Deza. Távolságok enciklopédiája . - Springer, 2009. - S. 325 -326. - ISBN 978-3-642-00233-5 .
↑ Weisstein, Eric W. French Metro Metric a Wolfram MathWorld webhelyén .
↑ Math 125A: Valódi elemzés, 2012. ősz. 7. fejezet Metrikus terek . Letöltve: 2013. július 24. Az eredetiből archiválva : 2013. december 6.. (határozatlan)
↑ francia vasúti metrika
↑ francia metró metrika
↑ Brit vasúti metrika (nem az Egyesült Királyságban használt meghatározás szerint)