Kubo Formula

A Kubo-képlet egy egyenlet, amely egy megfigyelt mennyiség lineáris válaszát fejezi ki egy nem stacionárius perturbáció függvényében . Ryogo Kubo nevéhez fűződik , aki először 1957-ben vezette be a képletet [1] [2] .

A Kubo-képlet segítségével kiszámítható az elektronrendszerek töltés- és spinszuszceptibilitása az alkalmazott elektromos és mágneses mezőkre adott válaszként. A külső mechanikai erőkre és rezgésekre adott válasz kiszámítása is lehetséges.

Kubo általános képlete

Tekintsünk egy (időfüggetlen) Hamilton-féle kvantumrendszert . Az operátor által leírt fizikai mennyiség átlagos értéke a következőképpen becsülhető meg: $H_{0}$ ${\kalap {A}}$

\langle {\hat {A}}\rangle ={1 \over Z_{0}}\operatorname {Tr} \,[{\hat {\rho _{0}}}{\hat {A} }]={1 \over Z_{0}}\sum _{n}\langle n|{\hat {A}}|n\rangle e^{-\beta E_{n}}

{\hat {\rho _{0}}}=e^{-\beta {\hat {H}}_{0}}=\sum _{n}|n\rangle \langle n|e ^{-\beta E_{n}}

hol van a partíció függvény . Tételezzük fel most, hogy abban az időben, amikor egy külső zavar hat a rendszerre. Ezt a zavarást a Hamilton-függvény egy további időfüggése írja le: ahol a Heaviside-függvény , amely pozitív idők esetén egyenlő 1-gyel, egyébként pedig 0, és hermitikus, és minden t -re definiálva van , úgy, hogy pozitív esetén teljes halmaza van valós sajátértékek , de ezek a sajátértékek idővel változhatnak. $Z_{0}=\operátornév {Tr} \,[{\hat {\rho }}_{0}]$ $t=t_{0}$ ${\hat {H}}(t)={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)\theta (t-t_{0}),$ ${\megjelenítési stílus \theta (t)}$ ${\hat {V}}(t)$ $t-t_{0}$ ${\kalap H}(t)$ $E_{n}(t)\,,$

Most azonban ismét megtalálhatjuk a sűrűségmátrix időbeli alakulását a partíciós függvény kifejezésének jobb oldaláról, és megbecsülhetjük a matematikai elvárást: ${\hat {\rho }}(t)$ $Z(t)=\operátornév {Tr} \,[{\hat {\rho }}(t)],$ $\langle {\hat {A}}\rangle =\operátornév {Tr} \,[\rho (t)\,{\hat {A}}]/\operátornév {Tr} \,[{\hat {\rho }}(t)].$

Az állapotok időfüggését teljesen meghatározza a Schrödinger-egyenlet, amely megfelel a Schrödinger-képnek . De mivel ez egy kis perturbációnak tekinthető, kényelmes az interakciós kép reprezentációját használni, a legalacsonyabb nem triviális sorrendben. Az időfüggést ebben az ábrázolásban az adja meg, ahol definíció szerint minden t és , $|n(t)\rangle$ $i\partial _{t}|n(t)\rangle ={\hat {H))(t)|n(t)\rangle ,$ ${\hat {V}}(t)$ $|{\hat {n}}(t)\rangle ,$ $|n(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t}|{\hat {n}}(t)\rangle =e^{-i{\ kalap {H}}_{0}t}{\hat {U}}(t,t_{0})|{\kalap {n}}(t_{0})\rangle ,$ $t_0$ $|{\hat {n}}(t_{0})\rangle =e^{i{\hat {H}}_{0}t_{0}}|n(t_{0})\rangle$

Lineáris sorrendben -ben kapjuk . Így a legfeljebb egy lineáris rend átlaga a perturbációhoz képest egyenlő ${\hat {V}}(t)$ ${\hat {U}}(t,t_{0})=1-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{\hat {V}}(t')$ ${\hat {A}}(t)$

{\begin{array}{rcl}\langle {\hat {A}}(t)\rangle &=&\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{ t_{0}}^{t}dt'{1 \over Z_{0}}\sum _{n}e^{-\beta E_{n}}\langle n(t_{0})|{\hat {A}}(t){\hat {V}}(t')-{\hat {V}}(t'){\hat {A}}(t)|n(t_{0})\rangle \\&=&\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{t_{0}}^{t}dt'\langle [{\hat {A}}(t) ,{\hat {V}}(t')]\rangle _{0}\end{array}}

A szögzárójelek a zavartalan Hamilton-féle egyensúlyi átlagot jelentik , ezért az elsőrendű perturbációelméletben az átlag csak nulladrendű sajátfüggvényeket tartalmaz, ami a perturbációelméletben általában előfordul. Ez eltávolítja az összes bonyolultságot, amely az adott időpontban egyébként felmerülhet . ${\displaystyle \langle \rangle _{0))$ $H_{0}.$ ${\displaystyle t>t_{0))$

A fenti kifejezés minden operátorra igaz. (lásd még Második kvantálás ) [3] .

Jegyzetek

↑ Kubo, Ryogo (1957). „Az irreverzibilis folyamatok statisztikai-mechanikai elmélete. I. Általános elmélet és egyszerű alkalmazások mágneses és vezetési problémákra”. J Phys. szoc. Jpn . 12 , 570–586. DOI : 10.1143/JPSJ.12.570 .
↑ Kubo, Ryogo (1957). „Az irreverzibilis folyamatok statisztikai-mechanikai elmélete. II. Válasz a hőzavarokra.” J Phys. szoc. Jpn . 12 , 1203–1211. DOI : 10.1143/JPSJ.12.1203 .
↑ Mahan, GD. sok részecskefizika. - New York: Springer, 1981. - ISBN 0306463385 .