Tényezőtér az altér felett

A lineáris algebra alterenkénti hányadostér olyan hányadostér, amelyet egy vektortérre az altere határoz meg egy hányadoshalmaz feletti térként az ekvivalenciarelációhoz képest . Megnevezés - . $(X,\;\mathbb {F} ,\;+,\;\cdot )$ $(X_{0},\;\mathbb {F} ,\;+,\;\cdot )$ $x$ ${\displaystyle x\sim y\Leftrightarrow xy\in X_{0))$ $X/X_{0}$

Tényezőleképezés

Egy olyan leképezést , amely az ekvivalenciaosztály minden elemét társítja , amelyben találhatók, hányados leképezésnek nevezzük. $\varphi \colon X\mapsto X/X_{0}$ $x$

A faktorleképezés lehetővé teszi egy vektorstruktúra meghatározását a következő műveletek megadásával: $X/X_{0}$ $\langle +,\;\cdot \rangle$

$x_{1}+x_{2}=\varphi (\varphi ^{-1}(x_{1})+\varphi ^{-1}(x_{2}))\qquad \forall x_{ 1},\;x_{2}\in X/X_{0};$
$\lambda x=\varphi (\lambda \varphi ^{-1}(x))\qquad \forall x\in X/X_{0},\;\lambda \in \mathbb {F} .$

A faktorleképezés egy ilyen téren lineáris.

A faktorleképezés tulajdonságai:

$\varphi \in {\mathcal {L}}(X,\;X/X_{0});$
${\displaystyle \mathrm {im} \,{\varphi }=X/X_{0))$ , azaz epimorfizmus ; $\varphi$
$\ker \varphi =X_{0}$ , ami egyenértékű a . ${\displaystyle \varphi ^{-1}(0)=X_{0))$

Kapcsolódó definíciók

Az altér hányadostér fogalma lehetővé teszi a következők meghatározását:

lineáris leképezés képe ; $T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y)\colon \mathrm {coim} \,T=X/\ker T$
a lineáris leképezés cokernelje feltéve, hogy . $T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y)\colon \mathrm {coker} \,T=Y/\mathrm {im} \,T$ $\mathrm {im} \,T\in \mathrm {Lat} (Y)$
kodimenzió ; ${\displaystyle X_{0}\in \mathrm {Lat} (X)\colon \mathrm {codim} \,X_{0}=\dim X/X_{0))$
Tényező-szeminorma a szeminorma által generált hányadostérben . $p\colon \forall w\in X/X_{0}\quad p_{X/X_{0}}(w)=\inf p(\varphi ^{-1}(w))$