Slater állapot

A Slater feltétel elégséges feltétele a szigorú dualitásnak egy konvex optimalizálási feladatban . Az állapot Morton L. Slater nevéhez fűződik [1] . Informálisan a Slater feltétel kimondja, hogy egy érvényes régiónak belső ponttal kell rendelkeznie (a részleteket lásd alább).

A Slater feltétel egy példa a szabályossági feltételekre [2] . Konkrétan, ha a Slater-feltétel teljesül az elsődleges feladatra , akkor a dualitási rés 0, és ha a duális probléma értéke véges, akkor elérjük [3] .

Megfogalmazás

Tekintsük az optimalizálási problémát

Minimalizálja

f_{0}(x)

Korlátozásokkal

f_{i}(x)\leqslant 0,i=1,\ldots ,m

ax=b

hol vannak a konvex függvények . Ez egy konvex programozási probléma példája . ${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{m))$

Más szavakkal, a konvex programozás Slater-feltétele kimondja, hogy az erős kettősség akkor érvényesül, ha létezik olyan pont , amely szigorúan a megvalósítható megoldások tartományán belül van (azaz minden megszorítás érvényes, de a nemlineáris megszorítások szigorú egyenlőtlenségekként érvényesek). $x^{*}$ $x^{*}$

Matematikailag a Slater-feltétel kimondja, hogy az erős dualitás akkor érvényesül, ha létezik egy pont (ahol a relint egy konvex halmaz relatív belsejét jelöli ), így $x^{*}\in \operatorname {relint} (D)$ $D:=\cap _{i=0}^{m}\operátornév {dom} (f_{i})$

f_{i}(x^{*})<0,i=1,\ldots ,m,

(konvex nemlineáris kényszerek)

Ax^{*}=b.\,

[4] .

Általánosított egyenlőtlenségek

Adott legyen a feladat

Minimalizálja

f_{0}(x)

Korlátozásokkal

f_{i}(x)\leqslant _{K_{i}}0,i=1,\ldots ,m

ax=b

ahol a függvény konvex és konvex bármely . Ekkor a Slater feltétel azt mondja, hogy abban az esetben, ha létezik , olyan, hogy $f_0$ $f_{i}$ $K_{i}$ $én$ $x^{*}\in \operatorname {relint} (D)$

f_{i}(x^{*})<_{K_{i}}0,i=1,\ldots ,m

és

Ax^{*}=b

akkor szigorú kettősség van [4] .

Jegyzetek

↑ Slater, 1950 .
↑ Takayama, 1985 , p. 66–76.
↑ Borwein, Lewis, 2006 .
↑ 1 2 Boyd, Vandenberghe, 2004 .

Irodalom

Morton Slater. A Cowles Bizottság vitairata sz. 403 . - 1950. Újranyomva ben
- A nemlineáris programozás nyomai és megjelenése / Giorgio Giorgi, Tinne Hoff Kjeldsen. – Bázel: Birkhäuser, 2014. – 293–306. — ISBN 978-3-0348-0438-7 .
Akira Takayama. Matematikai közgazdaságtan . - New York: Cambridge University Press, 1985. - ISBN 0-521-25707-7 .
Jonathan Borwein, Adrian Lewis. Konvex elemzés és nemlineáris optimalizálás: elmélet és példák. — 2. - Springer, 2006. - ISBN 0-387-29570-4 .
Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Konvex optimalizálás . - Cambridge University Press, 2004. - ISBN 978-0-521-83378-3 .