Toponogov összehasonlító tétele általában a Riemann-geometria klasszikus tétele.
A kétdimenziós esetben a tételt Paolo Pizzetti [1] igazolta . Munkásságát egy évszázadon át nem vették észre. [2] A tételt Alekszandr Danilovics Aleksandrov [3] önállóan megcáfolta, Viktor Andrejevics Toponogov [4] pedig általánosította magasabb dimenziókra.
A tétel megfogalmazásához szükségünk van néhány definícióra. Legyen egy legalább 2 dimenziós teljes Riemann-sokaság , amelynek metszeti görbülete nem kisebb, mint valamilyen állandó .
Jelölje a modell görbületi síkját . A , Ez az euklideszi sík, a , izometrikus egy sugarú gömb felületére , és -nél , a Lobacsevszkij görbületi sík .
A háromszög a legrövidebb utak hármasa, amelyek három pontot kötnek össze párokban. Ebben az esetben a három pont mindegyikét a háromszög csúcsának nevezzük , és a csúcsból kilépő legrövidebb pontpár közötti szöget ezen a csúcson lévő szögnek.
Legyen benne egy háromszög . Tételezzük fel, hogy létezik egy háromszög , amelynek azonos oldalai vannak, és egy ilyen háromszög a kongruenciáig egyedi. Ebben az esetben a háromszöget a háromszög modell háromszögének nevezzük .
Ne feledje, hogy a modell háromszög mindig definiálva van, ha . Ez abban az esetben igaz, ha a kerülete szigorúan kisebb, mint .
Legyen in egy modell háromszög -ben . Határozzuk meg a modellszöget szögmértékként .
Tétel. Legyen egy teljes Riemann-féle sokaság, amelynek metszeti görbülete nem kisebb, mint valamilyen állandó . Ekkor bármelyik háromszög szögei M-ben nem kisebbek, mint a modell háromszögének megfelelő szögei . Más szavakkal
bármely háromszöghez .