Toponogov-összehasonlítási tétel

Toponogov összehasonlító tétele általában a Riemann-geometria klasszikus tétele.

A kétdimenziós esetben a tételt Paolo Pizzetti [1] igazolta . Munkásságát egy évszázadon át nem vették észre. [2] A tételt Alekszandr Danilovics Aleksandrov [3] önállóan megcáfolta, Viktor Andrejevics Toponogov [4] pedig általánosította magasabb dimenziókra.

Kötelező meghatározások

A tétel megfogalmazásához szükségünk van néhány definícióra. Legyen egy legalább 2 dimenziós teljes Riemann-sokaság , amelynek metszeti görbülete nem kisebb, mint valamilyen állandó .

Jelölje a modell görbületi síkját . A , Ez az euklideszi sík, a , izometrikus egy sugarú gömb felületére , és -nél , a Lobacsevszkij görbületi sík .

A háromszög a legrövidebb utak hármasa, amelyek három pontot kötnek össze párokban. Ebben az esetben a három pont mindegyikét a háromszög csúcsának nevezzük , és a csúcsból kilépő legrövidebb pontpár közötti szöget ezen a csúcson lévő szögnek.

Legyen benne egy háromszög . Tételezzük fel, hogy létezik egy háromszög , amelynek azonos oldalai vannak, és egy ilyen háromszög a kongruenciáig egyedi. Ebben az esetben a háromszöget a háromszög modell háromszögének nevezzük .

Ne feledje, hogy a modell háromszög mindig definiálva van, ha . Ez abban az esetben igaz, ha a kerülete szigorúan kisebb, mint .

Legyen in egy modell háromszög -ben . Határozzuk meg a modellszöget szögmértékként .

Megfogalmazás

Tétel. Legyen egy teljes Riemann-féle sokaság, amelynek metszeti görbülete nem kisebb, mint valamilyen állandó . Ekkor bármelyik háromszög szögei M-ben nem kisebbek, mint a modell háromszögének megfelelő szögei . Más szavakkal

bármely háromszöghez .

Következmények

Változatok és általánosítások

ahol a pontok közötti távolságot jelöli és egy Riemann-sokaságban . tetszőleges négy pontért

Lásd még

Irodalom

Linkek

  1. Pizzetti, P., Paragone fra due triangoli a lati uguali. Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti (5). Classe di Scienze Fisiche, Matemache e Naturali 16(1), 1907, 6–11.
  2. Pambuccian, Victor; Zamfirescu, Tudor, Paolo Pizzetti: a háromszög-összehasonlító geometria elfeledett kezdeményezője. Historia Math. 38. (2011), 1. sz. 3, 415-422.
  3. Kr. e. Aleksandrov, Konvex felületek belső geometriája, Moszkva-Leningrád, Gosztekhizdat, 1948.
  4. V. A. Toponogov, Riemann-féle görbületi terek alulról határolt Uspekhi Mat. Nauk, 14:1(85) (1959), 87–130